Kezdőlap


Feladat:	1059. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1967/március, 115. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Tizes alapú számrendszer, Elsőfokú diofantikus egyenletek, Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Számjegyekkel kapcsolatos feladatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1966/május: 1059. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az első szorzat kisebbik tényezőjét $x$ -szel jelölve a követelmények:

\begin{matrix} x (x + 1) = x^{2} + x = 1000 A + 100 B + 10 C + D, & (1) \\ (x - 3) (x - 2) = x^{2} - 5 x + 6 = 1000 C + 100 A + 10 B + D, & (2) \\ (x - 30) (x - 29) = x^{2} - 59 x + 870 = 1000 B + 100 C + 10 A + D . & (3) \end{matrix}

(1)-ből (2)-t kivonva

\begin{matrix} 6 (x - 1) & = 900 A + 90 B - 990 C = 90 (10 A + B - 11 C), \\ x - 1 & = 15 (10 A + B - 11 C), \\ x & = 15 m + 1, & (4) \end{matrix}

ahol

m

egész szám. Mindhárom szorzatunk négyjegyű szám, az elöl álló

A

B

C

jegyek egyike sem

0

. Ezért (1)-ből

x < 100

, hiszen

100 \cdot 101

már ötjegyű. Másrészt (3)-ból

\begin{matrix} (x - 30) (x - 29) > 1000. \end{matrix}

Kényelmesebben számolhatunk, ha az első tényezőt is

x - 29

-re növeljük, mert így a bal oldal nő:

\begin{matrix} {(x - 29)}^{2} > 1000, ezért x - 29 ≧ 32, x ≧ 61, \end{matrix}

mert a legkisebb négyjegyű négyzetszám

1024 = 32^{2}

x

kapott alsó korlátja éppen (4) alakú szám. Mégsem lehet

x = 61

, mert így (3)-ban

31 \cdot 32 < 1000

, a végzett növeléssel éppen átléptük a legkisebb négyjegyű számot. Így

61 < x < 100

, és (4)-ben csak az

m = 5

és

m = 6

értékek jönnek szóba.

m = 5

nem felel meg, mert

x = 76

esetén

76 \cdot 77 = 5852

-ben két egyenlő számjegy lép fel.

m = 6

megoldást ad:

\begin{matrix} 91 \cdot 92 = 8372, 88 \cdot 89 = 7832, 61 \cdot 62 = 3782, \end{matrix}

mindháromból

A = 8

B = 3

C = 7

D = 2

. Más megoldása nincs a feladatnak.