Kezdőlap


Feladat:	1057. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Andor Cs. , Berács J. , Bulkai T. , Csirmaz L. , Dobozy O. , Gegesy F. , Geier J. , Grandpierre A. , Grósz T. , Gyarmati Erzsébet , Hárs L. , Herneczki I. , Horváth S. , Karger Kocsis J. , Kele A. , Kóczy L. , Koren A. , Lakner Mária , Lengyel T. , Mérő L. , Mészáros J. (Makó) , Moson P. , Munk S. , Pap Márta , Pataki Judit , Perémy G. , Pintz J. , Rácz Éva , Rajczy P. , Sax Gyula , Siklósi I. , Somos F. , Stefanovitz K. , Szabados Katalin , Szalay Marianne , Szenes Katalin , Szilléry A. , Szűcs A. , Takács L. , Tátray P. , Vályi I. , Vetier A. , Zambó Péter
Füzet:	1966/december, 221 - 222. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Vetítések, Derékszögű háromszögek geometriája, Súlypont, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1966/április: 1057. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$C$ részére más pontok szóba sem jönnek, mint az $A B$ átmérő fölötti Thalész-kör pontjai. Legyen az $A C D$ háromszög súlypontja $S$ , a $B C D$ háromszögé $S_{1}$ . Az $A$ körül $A C$ sugárral írt kör mindenesetre tartalmazza $S$ -et, mert tartalmazza az $A C D$ háromszöget, a súlypont pedig belső pontja a háromszögnek. Ugyanígy $S_{1}$ benne van a $B$ körüli, $B C$ sugarú körben, ezért csak annak feltételét kell keresnünk, hogy az $S_{1} A \leq C A$ és $S B \leq C B$ követelmény egyidejűen teljesüljön (ha ti. a határoló íveket hozzászámítjuk a körök közös részéhez).

Legyen

A D

felezőpontja

F

S

vetülete

A B

-n

S'

, válasszuk hosszúságegységnek

A B

-t, és jelöljük

A D

-t

x

-szel (

0 < x < 1

). Felhasználva az

F S S'

és

F C D

derékszögű háromszögek hasonló voltát és a súlypont harmadoló tulajdonságát,

\begin{matrix} S' D = 2 F D / 3 = A D / 3 = x / 3, ezért \end{matrix}

\begin{matrix} S' B = S' D + D B = S' D + 1 - x = 1 - 2 x / 3, \end{matrix}

továbbá a derékszögű háromszög középarányos-tételei alapján

\begin{matrix} S S' = C D / 3 = \sqrt[]{A D \cdot B D} / 3 = \sqrt[]{x (1 - x)} / 3 és B C = \sqrt[]{A B \cdot D B} = \sqrt[]{1 - x} . \end{matrix}

Ezekkel az

S B \leq C B

követelményből négyzetreemelés, a Pitagorasz-tétel alkalmazása, rendezés és a pozitív

x

-szel való osztás után

\begin{matrix} {(1 - \frac{2 x}{3})}^{2} + \frac{x (1 - x)}{9} \leq 1 - x, 3 x^{2} \leq 2 x, x \leq 2 / 3. \end{matrix}

(1)

Ugyanígy

B D = y (= 1 - x)

jelöléssel az

S_{1} A \leq C A

követelményből

y \leq 2 / 3

, azaz

x \geq 1 / 3

. Ezek szerint mindkét súlypont a körök közös részében van, ha

1 / 3 \leq x \leq 2 / 3

, vagyis ha

D

A B

szakaszt harmadoló

H_{1}

és

H_{2}

pontok közti szakaszon van, megengedve a szakasz végpontjait is,

C

pedig a

H_{1} H_{2}

szakasz fölötti

I_{1} I_{2}

íven.

x = 2 / 3

, azaz

D = H_{2}

esetén (1)-ből

S B = C B

(ezt az esetet láttuk az 1033. gyakorlatban^{$^{*}$}), ugyanakkor egyszerű számítás szerint

S_{1} A < C A

;

x = 1 / 3

, azaz

D = H_{1}

esetén pedig

S_{1} A = C A

, és

S B < C B

, vagyis egyszerre csak egyik súlypont eshet a két kör közös részének határvonalára.

Szenes Katalin (Budapest, I. István g. II. o. t.)

^{$^{*}$}ennek a füzetnek a 213. oldalán (1966. dec.)