Kezdőlap


Feladat:	1056. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bárdos J. , Csirmaz L. , Eszes G. , Grósz T. , Mészáros J. (Makó) , Perémy G. , Printz J. , Rajczy P. , Sax Gy. , Somos E. , Szűcs A. , Takács L. , Tóth Tibor
Füzet:	1967/február, 70 - 71. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Kör (és részhalmaza), mint mértani hely, Trapézok, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Pitagorasz-tétel alkalmazásai, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1966/április: 1056. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

¹ $d_{1}$ és $k$ metszéseként két pont adódik $F$ -re, de $d_{2} ⊥ d_{1}$ miatt mindkettő egyenlő messze van $G$ -től, így a szerkesztés egyértelmű; minden esetben két $H$ pont adódik. Végrehajtva az előírt szerkesztést az $a$ egyenes néhány helyzetéből kiindulva, úgy látszik, hogy a $H$ pontok egy $c$ körön vannak, melynek középpontja $A$ . (1. ábra, az ugyanazon helyzethez tartozó egyenesek és pontok jele fölött jobbra (1), (2), (3) index áll.) Ezért azt fogjuk bizonyítani, hogy az $A H$ szakasz hossza független az $a$ egyenes irányától.

Valóban, Pitagorasz tételét alkalmazva egymás után az

A H G

F G D

és

A D G

háromszögre, amelyben a szerkesztés szerint a

G

D

, ill.

G

csúcsnál derékszög van:

\begin{matrix} A H^{2} = A G^{2} + G H^{2} = A G^{2} + G F^{2} (A G^{2} + G D^{2}) + D F^{2} = A D^{2} + C E^{2}, \end{matrix}

állandó, eszerint

A H

egyenlő a

C E

szakasz mint befogó fölé az

E J = A D

szakasszal, mint második befogóval szerkesztett

C E J

derékszögű háromszög

C J

átfogójával. (Számításunk akkor is érvényes, ha

a ⊥ D A

, vagyis ha

G

A

-ban adódik.)
Megmutatjuk, hogy az

A

csúcs körül

C J

sugárral írt

c

kör bármely

H^{*}

pontjához van olyan, az

A

ponton átmenő

a^{*}

egyenes, amelyből kiindulva az előírt szerkesztés lépéseivel adódó

H

pontok egyike a kiszemelt

H^{*}

pont. Valóban, az

A

-n át a

D H^{*} = d_{2}^{*}

egyenesre állított merőleges ‐ és csak ez ‐ megfelel, mert a merőleges talppontját

G^{*}

-gal és a

k

kör

a^{*}

-gal párhuzamos ‐ tehát

d_{2}^{*}

-re merőleges ‐ átmérőjének egyik végpontját

F^{*}

-gal jelölve, az

A H^{*} G^{*}

A D G^{*}

és

F^{*} G^{*} D

derékszögű háromszögekből

\begin{matrix} G^{*} H^{* 2} = A H^{* 2} - A G^{* 2} = C E^{2} + A D^{2} - A G^{* 2} = D F^{* 2} + D G^{* 2} = F^{*} G^{* 2}, \end{matrix}

tehát G*H*=G*F*.
Ezek szerint a

H

pontpárok mértani helye az

A

körül

C J

sugárral írt kör kerülete.

Tóth Tibor (Szolnok, Verseghy F. g. II. o. t.)

Megjegyzés. Mindvégig úgy tekintettük, hogy

B C

ferdén hajlik az alapokhoz, vagyis

C E \neq 0

. Az így kihagyott

C E = 0

esetben

k

D

pontra zsugorodik össze,

F

és így

H

egyik helyzete is

D

, a másik pedig

D

-nek

a

-ra való tükörképe. Mivel

a

mindig átmegy

A

-n, ekkor is mindig fennáll

A H = A D

, állandó.

¹A feladat egy térbeli megoldását lásd ezen számban, az 56. oldalon közölt külön megjegyzésben. Ott magyarázat található a

B

C

E

pontok itt lényegtelennek látszó szerepére is.