|
Feladat: |
1056. matematika gyakorlat |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Bárdos J. , Csirmaz L. , Eszes G. , Grósz T. , Mészáros J. (Makó) , Perémy G. , Printz J. , Rajczy P. , Sax Gy. , Somos E. , Szűcs A. , Takács L. , Tóth Tibor |
Füzet: |
1967/február,
70 - 71. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Kör (és részhalmaza), mint mértani hely, Trapézok, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Pitagorasz-tétel alkalmazásai, Gyakorlat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1966/április: 1056. matematika gyakorlat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. és metszéseként két pont adódik -re, de miatt mindkettő egyenlő messze van -től, így a szerkesztés egyértelmű; minden esetben két pont adódik. Végrehajtva az előírt szerkesztést az egyenes néhány helyzetéből kiindulva, úgy látszik, hogy a pontok egy körön vannak, melynek középpontja . (1. ábra, az ugyanazon helyzethez tartozó egyenesek és pontok jele fölött jobbra (1), (2), (3) index áll.) Ezért azt fogjuk bizonyítani, hogy az szakasz hossza független az egyenes irányától.
Valóban, Pitagorasz tételét alkalmazva egymás után az , és háromszögre, amelyben a szerkesztés szerint a , , ill. csúcsnál derékszög van: | | állandó, eszerint egyenlő a szakasz mint befogó fölé az szakasszal, mint második befogóval szerkesztett derékszögű háromszög átfogójával. (Számításunk akkor is érvényes, ha , vagyis ha az -ban adódik.) Megmutatjuk, hogy az csúcs körül sugárral írt kör bármely pontjához van olyan, az ponton átmenő egyenes, amelyből kiindulva az előírt szerkesztés lépéseivel adódó pontok egyike a kiszemelt pont. Valóban, az -n át a egyenesre állított merőleges ‐ és csak ez ‐ megfelel, mert a merőleges talppontját -gal és a kör -gal párhuzamos ‐ tehát -re merőleges ‐ átmérőjének egyik végpontját -gal jelölve, az , és derékszögű háromszögekből
tehát G*H*=G*F*. Ezek szerint a pontpárok mértani helye az körül sugárral írt kör kerülete.
Tóth Tibor (Szolnok, Verseghy F. g. II. o. t.)
Megjegyzés. Mindvégig úgy tekintettük, hogy ferdén hajlik az alapokhoz, vagyis . Az így kihagyott esetben a pontra zsugorodik össze, és így egyik helyzete is , a másik pedig -nek -ra való tükörképe. Mivel mindig átmegy -n, ekkor is mindig fennáll , állandó. A feladat egy térbeli megoldását lásd ezen számban, az 56. oldalon közölt külön megjegyzésben. Ott magyarázat található a , , pontok itt lényegtelennek látszó szerepére is. |
|