Feladat: 1055. matematika gyakorlat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Pintz J. ,  Sax Gyula ,  Takács L. 
Füzet: 1967/március, 112 - 113. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Középpontos és egyéb hasonlósági transzformációk, Körülírt kör középpontja, A háromszögek nevezetes pontjai, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1966/április: 1055. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A kérdéses szögön a két kör közös pontjához tartozó érintők közti szöget értjük. A szög bármelyik közös pontban megállapítható, mert a közös pontok, és ottani érintőik is, páronként egymás tükörképei a két középpontot összekötő egyenesre; továbbá elég a két érintő közti valamelyik szöget meghatározni, a másik az azt 180∘-ra kiegészítő szög.

 
 

Az A, B1, C1 pontokkal meghatározott k1 kör az eredeti háromszög köré írt k kör felére való kicsinyítése az A pontból, mert az AB1C1 háromszög ilyen kicsinyítéssel áll elő az ACB háromszögből. Így k1 átmegy O-n, ezért célszerű k1 és a B, C, O pontokon átmenő k2 kör szögét O-ban meghatározni.
A két érintő közti szögek egyenlők azokkal a szögekkel, amelyeket a két kör O-hoz tartozó sugarainak egyenesei bezárnak, hiszen a sugár merőleges az érintőre, a merőleges szárú szögek pedig vagy egyenlők, vagy kiegészítik egymást 180∘-ra. Az O ponthoz a K2-ben tartozó sugár egyenese k és k2 centrálisa, tehát BC közös húrjuk f felező merőlegese, k1-ben pedig az OA egyenesen van rajta az O-hoz tartozó sugár, mert OA átmérő, hiszen a felhasznált oldalfelező pontokból derékszögben látszik. Ezzel visszavezettük feladatunkat annak megállapítására, mekkora szögeket zár be az OA egyenes és a BC oldal f felező merőlegese.
Tekintsük most már f-nek O-ból kiinduló félegyenesei közül azt, amelyik az A-t nem tartalmazó BC ív F felezőpontján át lép ki k-ból, és válasszuk a betűzést úgy, hogy a háromszög szögeinek szokásos jelölésével legyen β≧γ. A β>γ esetben az FBA ív nem nagyobb félkörnél, így az FOA szöget az OB félegyenessel kettévágva, a középponti és kerületi szögek tételei alapján
FOA∢=FOB∢+BOA∢=2⋅FAB∢+2⋅BCA∢=CAB∢+2γ==α+2γ=180∘-(β-γ).


Eszerint f-nek másik félegyenese az OA félegyenessel β-γ szöget zár be, és a keresett szög ezzel egyenlő. ‐ Ha pedig az adott háromszögben AB=AC, vagyis β=γ, akkor közvetlenül látható, hogy a kérdéses körök érintik egymást, szögük 0∘, hiszen a középpontjaik rajta vannak a háromszög szimmetria-tengelyén.
 
Sax Gyula (Budapest, Kölcsey F. Gimn. I. o. t.)

 
Megjegyzés. Ha speciálisan α=90∘, akkor O rajta van a BC átfogón, k2 nem jön létre, hiszen egy körnek egy egyenesen legfeljebb 2 pontja lehet. Könnyű belátni, hogy eredményünk erre az esetre úgy értelmezhető, hogy a BC átfogóegyenes és a k1 kör közti szög |β-γ|.