Feladat: 1054. matematika gyakorlat Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Andor Cs. ,  Csirmaz L. ,  Détári L. ,  Gilyén P. ,  Hernádi Ágnes ,  Juhász Ágnes ,  Lampert L. ,  Lengyel T. ,  Moson Péter ,  Perémy G. ,  Pintz J. ,  Somogyi Á. ,  Székely G. ,  Szenes Katalin ,  Tabiczky I. 
Füzet: 1967/április, 160 - 162. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Diszkusszió, Négyszögek szerkesztése, Síkgeometriai szerkesztések, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1966/április: 1054. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Válasszunk ki egy A pontot az adott pontok közül, legyen ez a keresett ABCD=T téglalap előírt csúcsa, a másik két pont pedig P2 és P3. Az utóbbiakon mindenesetre két különböző oldalegyenese megy át T-nek, jelöljük ezeket e2-vel, e3-mal.

 
 
1. ábra
 

a) Először olyan megoldást keresünk, melyben P2-n és P3-on T-nek két szomszédos oldalegyenese megy át és sem e2, sem e3 nem megy át A-n. Ekkor ezek egymást T-nek A-val szemben levő C csúcsában metszik (1. ábra), és P2CP3∢=90∘, továbbá az ACP2∢ értéke 30∘, 150∘, 60∘ és 120∘ valamelyike. Eszerint C kimetszhető a P2P3 átmérőjű k Thalész-körből az AP2 szakasz 30∘, ill. 60∘ nyílású k1, k'1, ill. k2 k'2 látókör-párjával. C egyértelműen meghatározza T-t, hiszen a B, D csúcsot megadja A-nak CP2-n, ill. CP3-on levő vetülete.
b) Írjuk elő továbbra is, hogy e2⊥e3 legyen, viszont egyikük menjen át A-n, legyen ez e2. Ekkor az AP2=e2 egyenes T-nek mindjárt oldalegyenese, az ezen levő B csúcsot a rá merőleges és P3-on átmenő e3 egyenes metszi ki, C-t e3-ból az A-n átmenő és e2-höz 30∘-kal vagy 60∘-kal hajló d átlóegyenes, és ezekkel D is meg van határozva (2. ábra).
 
 
2. ábra
 

c) Végül olyan megoldást keresve, melyben P2-n és P3-on T-nek párhuzamos oldalai mennek át, egyikük átmegy A-n, legyen ez ismét e2 Ekkor AP2=e2 ismét oldalegyenes (legyen AB), CD ezzel párhuzamos és átmegy P3-on, D az A vetülete e3-on, C-t kimetszi a fent mondott d egyenes, és ezáltal B is meg van határozva (3. ábra). ‐ Az eddigiekben A, e2 és e3 minden előírható kölcsönös helyzetére megadtuk a szerkesztést. Minden esetben nyilvánvaló, hogy a téglalap ‐ ha létrejön ‐ megfelel az előírásoknak.
 
 
3. ábra
 

II. Az a) típusú megoldásban P2 közös pontja a mondott 5 körnek, ezért k1, k'1, k2, k'2; mindegyike általában mégegyszer metszi k-t, C és T létrejön. Amennyiben k érinti a többi körök valamelyikét ‐ nyilvánvalóan csak egyiküket érintheti ‐ C-ként maga P2 is megfelel, ekkor a CD egyenes P2P3, a CB egyenes pedig a közös érintő, mert ekkor a CA=P2A egyenes CD=P2P3-ma1 30∘ vagy 60∘ szöget zár be. Amennyiben k átmegy A-n, a további 4 körnek nincs A-tól és P2-től különböző közös pontja k-val, de P2 csak akkor felel meg C-ként, ha P3P2A∢=30∘, vagy 60∘. Ebben az esetben viszont a 4 kör egyike azonos k-val, és C lehet k-nak bármely az A-tól különböző pontja (4. ábra).
 
 
4. ábra
 


‐ Itt említjük, hogy ha k átmegy A-n, akkor olyan kivételes, eddig nem említett típusú megoldás is van, melyben P2-n, P3-on az AB, AD oldalegyenesek mennek át; ekkor C-ként vehető a b) típusban meghatározott d egyenesek bármely, A-tól különböző pontja.
A b) és c) típusú megoldások mindig létrejönnek, azonban a c) típusú megoldás egyenes szakasszá fajul el, ha P3 rajta van AP2-n.
III. A lehetséges téglalapok száma az a) típusban, rögzített A esetén legföljebb 4-k1, k'1, k2, k'2 mindegyikéből 1-, a b) és c) típus esetében AP2-t véve oldalegyenesnek 4, mert d-ként 4 egyenes jön szóba, és ugyanennyi, ha AP3-at vesszük AB-nek. Így (a különleges eseteket nem tekintve) a megfelelő téglalapok száma, A szerepére mindhárom pontot sorra véve 3(4+2⋅4+2⋅4)=60.
 
 Juhász Ágnes (Budapest, Berzsenyi D. g. II. o. t.)
 Moson Péter (Budapest, Fazekas M. gyak. g. II. o. t.)