Kezdőlap


Feladat:	1053. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Andor Cs. , Balázs J. , Bálványos Z. , Berács J. , Bulkai T. , Cserha Gabriella , Csirmaz L. , Détári Gy. , Dobozy O. , Dőry Anna , Farkas István , Fehér Mária , Gilyén P. , Hárs L. , Horváth Cecília , Horváth Rozália , Horváth S. , Juhász Ágnes , Karger Kocsis J. , Kele A. , Kovács Tamás , Köpf V. , Lakner Mária , Lengyel Tamás , Mérő László , Molnár Klára , Papp Emma , Pataki Judit , Péli Katalin , Pintz J. , Pongó Judit , Rajczy P. , Sax Gy. , Siket Julianna , Siklósi M. , Siska Judit , Somogyi Á. , Szabados Katalin , Szabó Ágnes , Székely G. , Szilágyi Etelka , Szűcs A. , Takács L. , Tél T. , Turschányi Piroska , Vályi I. , Vetier A. , Zambó Péter
Füzet:	1967/január, 27 - 28. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Irracionális számok és tulajdonságaik, Algebrai átalakítások, Irracionális egyenletek, Paraméteres egyenletek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1966/április: 1053. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az egyenletet négyzetre emelve csak egy gyökös kifejezés adódik, azt a bal oldalon hagyjuk, majd újra négyzetre emelünk:

\begin{matrix} 2 x - 3 a + 2 \sqrt[]{(x - a) (x - 2 a)} = x - 3 a, \end{matrix}

\begin{matrix} 2 \sqrt[]{(x - a) (x - 2 a)} = - x, \end{matrix}

(2)

\begin{matrix} 4 (x - a) (x - 2 a) = x^{2}, 3 x^{2} - 12 a x + 8 a^{2} = 0. \end{matrix}

Eszerint (1) megoldása nem lehet más, mint

\begin{matrix} x_{1} = 2 a (1 + \frac{1}{\sqrt[]{3}}) (\approx a \cdot 3, 15), x_{2} = 2 a (1 - \frac{1}{\sqrt[]{3}}) (\approx a \cdot 0, 85) . \end{matrix}

Nem ekvivalens átalakításokat hajtottunk végre, ezért meg kell vizsgálnunk, kielégíti-e

x_{1}

és

x_{2}

az (1)-et.

x_{1}

esetében (1) mindhárom gyökjele alatt

a

-nak egy pozitív számmal való szorzata áll, ezért a négyzetgyökök csak

a ≧ 0

esetén valósak.

a > 0

esetén

x_{1} > 0

adódik, ez azonban (2) miatt lehetetlen, hiszen (2) bal oldala nem lehet negatív.

a = 0

esetén pedig

x_{1} = 0

, és ez kielégíti (1)-et.

x_{2}

esetén (1) mindhárom gyökjele alatt

a

-nak egy negatív számmal való szorzata áll, így a négyzetgyökök csak

a ≦ 0

esetén valósak (és ekkor

x_{2}

is negatív vagy 0). Ebben az esetben

x_{2}

kielégíti (1)-et, ugyanis ‐ mindig a négyzetgyök pozitív értékét véve ‐

\begin{matrix} \sqrt[]{x_{2} - a} = \sqrt[]{- a (- 1 + \frac{2}{\sqrt[]{3}})} = \sqrt[]{- a \cdot \frac{4 - 2 \sqrt[]{3}}{\sqrt[]{12}}} = \sqrt[]{- a} \cdot \frac{\sqrt[]{3} - 1}{\sqrt[4]{12}}, \end{matrix}

\begin{matrix} \sqrt[]{x_{2} - 2 a} = \sqrt[]{- a \cdot \frac{2}{\sqrt[]{3}}} = \sqrt[]{- a \cdot \frac{4}{\sqrt[]{12}}} = \sqrt[]{- a} \cdot \frac{2}{\sqrt[4]{12}}, \end{matrix}

\begin{matrix} \sqrt[]{x_{2} - 3 a} = \sqrt[]{- a (1 + \frac{2}{\sqrt[]{3}})} = \sqrt[]{- a \cdot \frac{4 + 2 \sqrt[]{3}}{\sqrt[]{12}}} = \sqrt[]{- a \cdot} \frac{\sqrt[]{3} + 1}{\sqrt[4]{12}}, \end{matrix}

és az első kettő összege valóban egyenlő a harmadikkal.
A fenti

a = 0

x_{1} = 0

esetet ez a kifejezés is megadja (és irracionális egyenlet esetében úgysem beszélünk kétszeres gyökről), ennélfogva (1) megoldása

\begin{matrix} x = 2 a (1 - \frac{1}{\sqrt[]{3}}), ha a ≦ 0. \end{matrix}

Péli Katalin (Makó, József A. g. II. o. t.)

Megjegyzés. Hasonlóan látható be, hogy a fenti

x_{1}

kifejezés

a ≧ 0

esetén

az \sqrt[]{x - a} - \sqrt[]{x - 2 a} = \sqrt[]{x - 3 a}

egyenlet gyöke.