Kezdőlap


Feladat:	1052. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Fiala Tibor
Füzet:	1967/február, 69 - 70. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Nevezetes azonosságok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1966/április: 1052. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ismételten felhasználjuk a következő azonosságot:

\begin{matrix} {(a - b)}^{2} + {(a + b)}^{2} = 2 (a^{2} + b^{2}) . \end{matrix}

(2)

Legyen először

3 - t^{2} = a

2 t = b

. Így az (1) kifejezések négyzetösszege

\begin{matrix} S_{2} = 16 t^{2} + 2 [{(3 - t^{2})}^{2} + 4 t^{2}] = 2 [{(3 - t^{2})}^{2} + 12 t^{2}] = & (3) \\ = 2 [9 + 6 t^{2} + t^{4}] = 2 {(3 + t^{2})}^{2}, \end{matrix}

tehát az első állítás helyes, hiszen ha

t

egész szám, akkor

3 + t^{2}

is az.
(1) második és harmadik kifejezésének négyzete így alakul:

\begin{matrix} [(3 - t^{2}) \mp t^{2}] = {(3 - t^{2})}^{2} + 4 t^{2} \mp 4 t (3 - t^{2}) . \end{matrix}

Helyettesítsünk most (2)-be

a = {(3 - t^{2})}^{2} + 4 t^{2}

-et és

b = 4 t (3 - t^{2})

-et, így az (1) kifejezések negyedik hatványainak összege

\begin{matrix} S_{4} = 256 t^{4} + 2 [{(3 - t^{2})}^{4} + 8 t^{2} {(3 - t^{2})}^{2} + 16 t^{4} + 16 t^{2} {(3 - t^{2})}^{2}] = \\ = 2 [{(3 - t^{2})}^{4} + 24 t^{2} {(3 - t^{2})}^{2} + 144 t^{4}] = 2 {[{(3 - t^{2})}^{2} + 12 t^{2}]}^{2}, \end{matrix}

és (3) felhasználásával

\begin{matrix} S_{4} = 2 {(3 + t^{2})}^{4}, \end{matrix}

ami valóban teljes negyedik hatvány kétszerese, amennyiben

t

egész szám.

Fiala Tibor (Budapest, Rákóczi F. Gimn., I. o. t.)