Kezdőlap


Feladat:	1051. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Csirmaz László
Füzet:	1967/január, 25 - 27. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Paraméteres egyenletrendszerek, Interpolációs polinomok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1966/április: 1051. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. I. Az $a, b, c$ paramétereket egyelőre különbözőknek tekintjük. Vonjuk ki (2)-ből (1)-et, (3)-ból (2)-t, majd a keletkező (7)-nek $(b - a)$ -szorosából (6)-nak $(c - b)$ -szeresét:

\begin{matrix} (b - a) y + (b - a) (a + b) z = B - A, & (6) \\ (c - b) y + (c - b) (b + c) z = C - B, & (7) \\ (b - a) (c - b) (c - a) z = (b - a) (C - B) - (c - b) (B - A) . & (8) \end{matrix}

Innen kiszámíthatjuk

z

-t, az eredmény alapján (6)-ból

y

-t, majd mindkettő alapján (1)-ből

x

-et. Legyen rövidítésül

\begin{matrix} (b - a) (c - b) (a - c) = k, \end{matrix}

így kellő átalakítások után, a számlálókat

A, B

és

C

szerint rendezve

\begin{matrix} z & = - \frac{1}{k} [(c - b) A + (a - c) B + (b - a) C], & (9) \\ y & = \frac{B - A}{b - a} - (a + b) z = \frac{1}{k} [(c^{2} - b^{2}) A + & (10) \\ + (a^{2} - c^{2}) B + (b^{2} - a^{2}) C], \\ x & = B - b y - b^{2} z = - \frac{1}{k} [b c (c - b) A + c a (a - c) B + & (11) \\ + a b (b - a) C] . \end{matrix}

Eseteinkben azonban egyszerűbb a behelyettesítés, ha sem (8) jobb oldalán, sem tovább nem bontjuk fel az

A, B, C

paraméterekből képezett különbségek zárójeleit:

\begin{matrix} z & = \frac{1}{k} [(c - b) (B - A) - (b - a) (C - B)], & (12) \\ y & = - \frac{1}{k} [(c^{2} - b^{2}) (B - A) - (b^{2} - a^{2}) (C - B)], \\ x = B & + \frac{b}{k} [c (c - b) (B - A) - a (b - a) (C - B)] . & (13) \end{matrix}

II. Mármost a (4) értékrendszer esetében (12)-ből, (10) első alakjából és (13)-ból

\begin{matrix} z = 0, x = \frac{B - A}{b - a} = - 1, x = B + b = a + b + c . \end{matrix}

Az (5) értékrendszer esetében pedig ugyanezekből az alakokból

\begin{matrix} z = 1, & y = \frac{B - A}{b - a} - (a + b) = - (a + b + c), \\ x = B + b (a + c) = a b + b c + c a . \end{matrix}

III. Ha

a, b, c

közül kettő egyenlő, pl.

c = a \neq b

, akkor (3) és (1) bal oldala azonos, ezért a rendszernek vagy nincs megoldása ‐ ha ti. a jobb oldalaik nem egyenlők, mert így (3) és (1) ellentmondók ‐, vagy számtalan sok megoldása van ‐ amennyiben (3) és (1) jobb oldalai egyenlők, mert így a három ismeretlen meghatározására csak két független egyenletünk van.

c = a

esetén (4)-ben is, (5)-ben is

C = A

, így az utóbbi eset áll fenn.

z

értékét tetszés szerint választva (9)-ből, majd (1)-ből

\begin{matrix} y = \frac{B - A}{b - a} - (a + b) z, \end{matrix}

\begin{matrix} x = A - \frac{a (B - A)}{b - a} + a b z = a \frac{b A - a B}{b - a} + a b z . \end{matrix}

Speciálisan (4), majd (5) esetében:

\begin{matrix} \begin{matrix} {\begin{matrix} y = - 1 - (a + b) z, \\ x = 2 a + b + a b z; \end{matrix}{\begin{matrix} y = - a - (a + b) z, \\ x = a (a + b) + a b z . \end{matrix} \end{matrix} \end{matrix}

Ha pedig

a = b = c

, akkor ‐ az előírt (4) és (5) esetben ‐ az (1)‐(3) egyenletek azonosak, bármelyik két ismeretlen értékét tetszés szerint megválasztva a harmadikat velük kifejezhetjük, számtalan sok megoldás van.

Csirmaz László (Budapest, I. István g. I. o. t.)

II. megoldás. (arra az esetre, ha

a, b, c

különböző). A feladatot úgy is felfoghatjuk, hogy annak az

\begin{matrix} x + y u + z u^{2} \end{matrix}

legfeljebb másodfokú polinomnak az

x, y, z

együtthatóit keressük, amely az

u = a, b, c

helyeken rendre az

A, B, C

értéket veszi fel. Megoldhatjuk a feladatot az interpolációs polinomokra vonatkozó ismeretek alapján is.^{$^{*}$} Ez a polinom az idézett cikk (2) és (3) kifejezéseit felhasználva, Lagrange-féle alakjában a következő:

\begin{matrix} A \cdot \frac{(u - b) (u - c)}{(a - b) (a - c)} + B \cdot \frac{(u - a) (u - c)}{(b - a) (b - c)} + C \cdot \frac{(u - a) (u - b)}{(c - a) (c - b)}, \end{matrix}

tehát

z

-t megadja e polinomban

u^{2}

együtthatója,

y

-t az

u

együtthatója,

x

-et pedig az

u

-t nem tartalmazó tag:

\begin{matrix} Z = \frac{A}{(a - b) (a - c)} + \frac{B}{(b - a) (b - c)} + \frac{C}{(c - a) (c - b)}, \end{matrix}

\begin{matrix} y = - \frac{(b + c) A}{(a - b) (a - c)} - \frac{(c + a) B}{(b - a) (b - c)} - \frac{(a + b) C}{(c - a) (c - b)}, \end{matrix}

\begin{matrix} x = \frac{b c A}{(a - b) (a - c)} + \frac{c a B}{(b - a) (b - c)} + \frac{a b C}{(c - a) (c - b)} . \end{matrix}

Ezek a kifejezések könnyen a (9)‐(11) alakra hozhatók.
Hasonlóan a keresett polinom Newton-féle alakja, az idézett cikk (1) kifejezését megelőző meggondolás felhasználásával,

c_{1}, c_{2}, c_{3}

helyére

e_{1}, e_{2}, e_{3}

együtthatót írva, és a polinom előírt értékpárjait

(b, B), (a, A), (c, C)

sorrendben felhasználva

\begin{matrix} e_{1} + e_{2} (u - b) + e_{3} (u - b) (u - a) = \end{matrix}

\begin{matrix} = B + \frac{B - A}{b - a} \cdot (u - b) + \frac{C - B - \frac{B - A}{b - a} \cdot (c - b)}{(c - b) (c - a)} \cdot (u - b) (u - a); \end{matrix}

innen csekély átalakítás után

z

és

x

értékét a (12), (13) alakban kapjuk

^{$^{*}$}Lásd pl. Surányi János: Interpolációs polinomok előállítása, Megjegyzés az 1378. feladathoz, K. M. L. 31 (1965/11) 112-114. o.