A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. I. Az paramétereket egyelőre különbözőknek tekintjük. Vonjuk ki (2)-ből (1)-et, (3)-ból (2)-t, majd a keletkező (7)-nek -szorosából (6)-nak -szeresét:
Innen kiszámíthatjuk -t, az eredmény alapján (6)-ból -t, majd mindkettő alapján (1)-ből -et. Legyen rövidítésül így kellő átalakítások után, a számlálókat és szerint rendezve
Eseteinkben azonban egyszerűbb a behelyettesítés, ha sem (8) jobb oldalán, sem tovább nem bontjuk fel az paraméterekből képezett különbségek zárójeleit:
II. Mármost a (4) értékrendszer esetében (12)-ből, (10) első alakjából és (13)-ból | | Az (5) értékrendszer esetében pedig ugyanezekből az alakokból
III. Ha közül kettő egyenlő, pl. , akkor (3) és (1) bal oldala azonos, ezért a rendszernek vagy nincs megoldása ‐ ha ti. a jobb oldalaik nem egyenlők, mert így (3) és (1) ellentmondók ‐, vagy számtalan sok megoldása van ‐ amennyiben (3) és (1) jobb oldalai egyenlők, mert így a három ismeretlen meghatározására csak két független egyenletünk van. esetén (4)-ben is, (5)-ben is , így az utóbbi eset áll fenn. értékét tetszés szerint választva (9)-ből, majd (1)-ből | |
Speciálisan (4), majd (5) esetében:
| |
Ha pedig a=b=c, akkor ‐ az előírt (4) és (5) esetben ‐ az (1)‐(3) egyenletek azonosak, bármelyik két ismeretlen értékét tetszés szerint megválasztva a harmadikat velük kifejezhetjük, számtalan sok megoldás van.
Csirmaz László (Budapest, I. István g. I. o. t.)
II. megoldás. (arra az esetre, ha a,b,c különböző). A feladatot úgy is felfoghatjuk, hogy annak az legfeljebb másodfokú polinomnak az x,y,z együtthatóit keressük, amely az u=a,b,c helyeken rendre az A,B,C értéket veszi fel. Megoldhatjuk a feladatot az interpolációs polinomokra vonatkozó ismeretek alapján is. Ez a polinom az idézett cikk (2) és (3) kifejezéseit felhasználva, Lagrange-féle alakjában a következő: | A⋅(u-b)(u-c)(a-b)(a-c)+B⋅(u-a)(u-c)(b-a)(b-c)+C⋅(u-a)(u-b)(c-a)(c-b), | tehát z-t megadja e polinomban u2 együtthatója, y-t az u együtthatója, x-et pedig az u-t nem tartalmazó tag: | Z=A(a-b)(a-c)+B(b-a)(b-c)+C(c-a)(c-b), | | y=-(b+c)A(a-b)(a-c)-(c+a)B(b-a)(b-c)-(a+b)C(c-a)(c-b), | | x=bcA(a-b)(a-c)+caB(b-a)(b-c)+abC(c-a)(c-b). | Ezek a kifejezések könnyen a (9)‐(11) alakra hozhatók. Hasonlóan a keresett polinom Newton-féle alakja, az idézett cikk (1) kifejezését megelőző meggondolás felhasználásával, c1,c2,c3 helyére e1,e2,e3 együtthatót írva, és a polinom előírt értékpárjait (b,B),(a,A),(c,C) sorrendben felhasználva | =B+B-Ab-a⋅(u-b)+C-B-B-Ab-a⋅(c-b)(c-b)(c-a)⋅(u-b)(u-a); | innen csekély átalakítás után z és x értékét a (12), (13) alakban kapjuk Lásd pl. Surányi János: Interpolációs polinomok előállítása, Megjegyzés az 1378. feladathoz, K. M. L. 31 (1965/11) 112-114. o. |