Kezdőlap


Feladat:	1049. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Zambó Péter
Füzet:	1967/március, 111. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Pont körüli forgatás, Magasságvonal, Szögfelező egyenes, Körülírt kör, Húrnégyszögek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1966/március: 1049. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A szögfelezés miatt az $A$ -t nem tartalmazó $D B$ és $D C$ ívek egyenlők, így a $D B$ és $D C$ húrok is. Fordítsuk el a $D C A$ háromszöget $D$ körül addig, míg $C$ a $B$ -be jut, és legyen ekkor $A$ új helyzete $A'$ . Ez a pont $A B$ -nek $B$ -n túli meghosszabbítására esik, mert $D B A' ∢ = D C A ∢$ , és az utóbbi a $D B A$ szöget $180^{\circ}$ -ra egészíti ki, hiszen $A B D C$ húrnégyszög. Így $D E$ a $D A A'$ egyenlő szárú háromszög magassága, $E$ felezi az $A A' = A B + B A' = A B + C A$ alapot, $A E = (A B + A C) / 2$ . Ez az első bizonyítandó állítás.

Hasonlóan

D_{1} B = D_{1} C

, ezért a

D_{1} C A

háromszöget

D_{1}

körül elfordítva

C

átjuthat

B

-be. Legyen ebben a helyzetben

A

A''

pontban, ez a

B A

félegyenes pontja, mert

D_{1} B A''

D_{1} C A

és

D_{1} B A

egyenlő szögek, és első szárukat ugyanolyan irányú forgás viszi át a második szárba, ugyanis

D_{1}

A

-t tartalmazó

B C

íven van, hiszen

D A D_{1} ∢ = 90^{\circ}

D D_{1}

a kör átmérője. Így

D_{1} E_{1}

D_{1} A A''

egyenlő szárú háromszög magassága,

A E_{1} = A A'' / 2

, másrészt

A A''

-t úgy kapjuk, hogy

B A

és

B A'' = C A

közül a nagyobbikból kivonjuk a kisebbiket:

A A'' = | A B - A C |

. Ezzel a második állítást is bebizonyítottuk.

D

minden esetben az

A

-tól különböző pont,

D_{1}

viszont egybeeshet vele. Ekkor a külső szögfelező érinti a kört, ezért a belső felező átmegy a középponton, a háromszög egyenlő szárú,

E

B

-be,

E_{1}

A

-ba esik, az állítás semmitmondó.

Zambó Péter (Miskolc, Földes F. Gimn., I. o. t.)