Feladat: 1047. matematika gyakorlat Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bulkai Tamás ,  Dalos Mihály 
Füzet: 1967/február, 68 - 69. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Háromszögek hasonlósága, Síkgeometriai szerkesztések, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1966/március: 1047. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Legyen a szög csúcsa O, a keresett érintő metszéspontja a szárakkal A és B, érintési pontja T. Ekkor AT/TB=a/b, OT⊥AB és OT=r. Ehhez az ábrához könnyen szerkeszthetünk hasonlót. Mérjük fel egy egyenes egy T' pontjából annak két oldalára a T'A'=a, T'B'=b szakaszokat, állítsunk az egyenesre T'-ben merőlegest és messük el az egyik olyan körívvel, amelyikről az A'B' szakasz α szögben látszik. Legyen a metszéspont O'. A keletkezett ábra hasonló a keresetthez.
Utóbbit most már úgy kaphatjuk, hogy O körül r sugarú körívet húzunk az adott szögtartományban és ezt elmetsszük a szög egyik szárára szerkesztett, A'O'T'-vel egyenlő szög szárával, majd a T metszéspontban érintőt húzunk.

 
 

Ez messe a kérdéses és a másik szögszárat A-ban, ill. B-ben. Ekkor a megfelelő szögek egyenlősége miatt AOT▵∼A'O'T'▵, BOT▵∼B'O'T'▵, s így
AT/TB=(AT/TO)⋅(TO/TB)=(A'T'/T'O')⋅(T'O'/T'B')=A'T'/T'B'=a/b.

A szerkesztés mindig elvégezhető, és tükrözéstől eltekintve egyértelmű. (Ha a=b, OT könnyen szerkeszthető az α szög felezőjeként.)
 
 Dalos Mihály (Budapest, Ságvári E. Gyak. Ált. Isk. és Gimn., I. o. t.)
 
II. megoldás. Az előző megoldás jelöléseit használjuk. Az OA szögszár egy O-tól különböző P pontjából párhuzamost húzva AB-vel ezt OT a/b arányban osztja és merőlegesen metszi. Ennek alapján az S metszéspontot P megválasztása után megszerkeszthetjük.
Egyrészt azok az S pontok, amelyekből OP derékszögben látszik, az OP átmérőjű körön vannak; másrészt a P-n átmenő egyeneseknek a szög szárai közé eső szakaszát a/b arányban osztó pontok egy az OB szárral párhuzamos e egyenesnek a szögtartományba eső félegyenesén vannak. Ennek egy R pontját pl. úgy szerkeszthetjük, hogy P-ből a+b sugarú körívvel elmetsszük a másik szögszárat és a keletkező PQ szakaszra rámérjük a PR=a szakaszt. (Ehhez P-t célszerű a+b-nél közelebb választani O-hoz.)
Az R-en át OQ-val párhuzamosan húzott egyenes kimetszi a körből S-et, OS az O körüli r sugarú körnek a szögtartományba eső ívéből T-t. Az OT-re T-ben állított merőleges a keresett érintő.
 
 Bulkai Tamás (Győr, Czuczor G. Bencés g. II. o. t.)