Kezdőlap


Feladat:	1044. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Kuluncsich Tibor , Lengyel Tamás
Füzet:	1966/december, 217 - 218. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1966/március: 1044. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Elég azt belátnunk, hogy a szorzat kifejtett alakjában különválasztva azokat a tag-tag-szorzatokat, melyeknek legalább egyik tényezője az adott tényezők utolsó tagja, a különválasztott szorzatok $S$ összege 0. $S$ a következő alakban írható:

\begin{matrix} S = \frac{64}{(a - 2) a^{2}} (a^{2} - 2 a + 4 - \frac{8}{a} + \frac{16}{a^{2}}) - \\ - \frac{64}{(a + 2) a^{2}} (a^{2} + 2 a + 4 + \frac{8}{a} + \frac{16}{a^{2}}) - \frac{64^{2}}{(a^{2} - 4) a^{4}} . \end{matrix}

A második zárójelbeli kifejezésből

1 / a^{2}

-et kiemelve felismerjük, hogy a benn maradó kifejezés olyan szerkezetű, mint amilyet

a^{n} - b^{n}

szorzattá alakításában használtunk; itt

n = 5

, és

b

helyén 2 áll, ezért

\begin{matrix} a^{4} + 2 a^{3} + 4 a^{2} + 8 a + 16 = \frac{a^{5} - 2^{5}}{a - 2} . \end{matrix}

Ugyanígy az első zárójelben

b

helyén

- 2

-t látunk, ezért

\begin{matrix} a^{2} - 2 a + 4 - \frac{8}{a} + \frac{16}{a^{2}} = \frac{a^{5} + 32}{(a + 2) a^{2}} . \end{matrix}

Ezek alapján

S

egyszerűbb alakban írható:

\begin{matrix} S = \frac{64}{(a - 2) a^{2}} \cdot \frac{a^{5} + 32}{(a + 2) a^{2}} - \frac{64}{(a + 2) a^{2}} \cdot \frac{a^{5} - 32}{(a - 2) a^{2}} - \frac{64^{2}}{(a - 4) a^{4}} . \end{matrix}

A három tag nevezője közös, elég a számlálók összegét vizsgálnunk. Valóban

\begin{matrix} 64 (a^{5} + 32) - 64 (a^{5} - 32) + 64^{2} = 0. \end{matrix}

Ezzel igazoltuk az állítást.

Kuluncsich Tibor (Baja, Tóth K. g. II. o. t.)

Megjegyzések. 1. A fenti átalakítások alapján (1) tényezői így alakíthatók:

\begin{matrix} \frac{a^{5} - 32}{(a - 2) a^{2}} + \frac{64}{(a - 2) a^{2}} = \frac{a^{5} + 32}{(a - 2) a^{2}}, ill. \\ \frac{a^{5} + 32}{(a + 2) a^{2}} - \frac{64}{(a + 2) a^{2}} = \frac{a^{5} - 32}{(a + 2) a^{2}} . \end{matrix}

A jobb oldali számlálók felcserélve egyenlők a bal oldali első törtek számlálóival (a nevezők pedig felcserélés nélkül egyenlők), ezért a jobb oldalak (a teljes kifejezések) szorzata egyenlő a bal oldali első tagok (a megrövidített kifejezések) szorzatával. Így magát a szorzatot is megkaptuk rövidebb alakban.

Lengyel Tamás (Budapest, Berzsenyi D. g. I. o. t.)

2. Többen a fenti felismerést úgy mondták ki, hogy az (1)-beli tényezők első

5 - 5

tagja mértani sorozatot alkot.