Kezdőlap


Feladat:	1043. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Lempert László , Papp Emma
Füzet:	1966/november, 154. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Racionális számok és tulajdonságaik, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1966/március: 1043. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Minden $c$ természetes számhoz található olyan $d$ , $e$ természetes szám, hogy

\begin{matrix} \frac{1}{c} = \frac{1}{d} + \frac{1}{e} . \end{matrix}

Innen ugyanis

\begin{matrix} e = \frac{c d}{d - c}, \end{matrix}

és ez természetes szám, ha

d - c = 1

, azaz

d = c + 1

esetén

e = c (c + 1)

, mindkettő nagyobb

c

-nél. Itt

c > 1

esetén

e > d

. Ha pedig

c = 1

, akkor

e = d

, ezért az átalakítás kétszeri alkalmazásával

1 / 1 = 1 / 2 + 1 / 2 = 1 / 2 + 1 / 3 + 1 / 6

.
Eszerint

a / b

feltevés szerinti felbontásában a legnagyobb nevezőjű

1 / c

tört helyére az

\begin{matrix} \frac{1}{c + 1} + \frac{1}{c (c + 1)} \end{matrix}

összeget írva

1

-gyel több törtre való felbontását kapjuk

a / b

-nek, és ismét minden tört különböző.
Papp Emma (Dévaványa, g. I. o. t.)

Megjegyzés. Az

1 = 1 / 2 + 1 / 4 + 1 / 5 + 1 / 20

felbontás ugyancsak a fenti elv többszöri alkalmazásával készült. Ilyenekkel egyszerre

1

-nél többel is növelhetjük egy adott felbontás tagjainak számát, pl.

1 / c

helyére az

1 / 2 c + 1 / 3 c + 1 / 6 c

vagy

1 / 2 c + 1 / 4 c + 1 / 5 c + 1 / 20 c

összeget írva.
Lempert László (Budapest, Radnóti M. gyak. isk. 8. o. t.)