Kezdőlap


Feladat:	1041. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bálványos Z. , Berács József , Bulkai T. , Csirmaz L. , Erdődi Gy. , Geier J. , Hárs László , Horváth S. , Kóczy László , Moson P. , Murvai Éva , Nikodémusz Anna , Orbán G. , Pintz János , Sax Gy. , Szenes Katalin , Szűcs A. , Vályi I. , Vetier A.
Füzet:	1967/január, 23 - 24. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Vetítések, Háromszögek nevezetes tételei, Paralelogrammák, Koszinusztétel alkalmazása, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1966/február: 1041. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen az adott arányszám $k$ , és $B'_{1}$ , $C'_{1}$ olyan pontpár, amelyre $B C'_{1} / C B'_{1} = k$ . Egyszerű áttekintést kapunk a $B'_{1} C'_{1}$ szakaszokról, ha minden ilyen szakasszal egyenlő, párhuzamos és egyirányú $C D$ szakaszt húzunk. Ekkor $B'_{1} C'_{1} D C$ paralelogramma, vagy $C'_{1} = A$ esetén $D$ a $B'_{1}$ tükörképe $A C$ felezőpontjára; így $C'_{1} D$ párhuzamos, egyirányú és egyenlő $B'_{1} C$ -vel. Tegyük egyelőre fel, hogy $k$ pozitív és válasszuk az oldalegyeneseken a $B A$ és $C A$ irányt pozitív-nak. Ezért

\begin{matrix} D C'_{1} B ∢ = C A B ∢ és \frac{B C'_{1}}{D C'_{1}} = \frac{B C'_{1}}{C B'_{1}} = k, \end{matrix}

mindkettő független a

B'_{1}, C'_{1}

pontok megválasztásától.

A keletkező

D C'_{1} B

háromszögek tehát hasonlók, s így a

C'_{1} B D

szög állandó, a

D

pontok mind egy

B

-n átmenő

d

egyenesen sorakoznak. Fordítva, legyen

d

-nek tetszés szerinti (

B

-től és

A C

-vel való

D_{0}

metszéspontjától különböző) pontja

D

, húzzunk ezen át párhuzamost

A C

-vel, legyen ennek

A B

-vel való metszéspontja

C'_{1}

, és az ezen át

D C

-vel párhuzamosan húzott egyenes messe

A C

-t

B'_{1}

-ben; ekkor

B C'_{1} / C B'_{1} = k

. Ha

D = D_{0}

, akkor könnyen látható, hogy

C'_{1} = A

, és

B'_{1}

D_{0}

tükörképe

A C

felezőpontjára.
Akkor lesz

B'_{1} C'_{1}

a legrövidebb, amikor

C D

, azaz ha

D

C

pont

d

-n levő

D_{1}

merőleges vetületébe kerül. Ebből a keresett

C_{1}, B_{1}

pontpár a fentiek szerint adódik.
Negatív

k

esetén csak annyi változik, hogy a

D C_{1} B

szög a

180^{\circ} - C A D ∢

-gel lesz egyenlő.

D

és

d

, és belőlük

D_{1}, C_{1}, B_{1}

mindig egyértelműen megszerkeszthető, mert

D

nem eshet

B

-be, és mert

A B

és

A C

nem párhuzamos; ha azonban

D_{1}

B

-ben adódik, akkor

C_{1}

keresett helyzete

B

B_{1}

-é pedíg

C

, és ekkor az aránynak nincs értelme.

Berács József (Győr, Czuczor G. Bencés g. II. o. t.)

Hárs László (Budapest, Kölcsey F. g. I. o. t.)

Megjegyzés. A feladat megoldható számítás útján is. A feltétel szerint ‐ a

C B_{1}

szakasz (előjeles) hosszát

t

-vel jelölve ‐

B C_{1} = k t

. Az

A B_{1} C_{1}

háromszögben

A B_{1} = b - t

A C_{1} = c - k t

, így

B_{1} C_{1}^{2}

-t a koszinusz-tétellel meghatározva,

t

-nek egy másodfokú polinomja adódik, amelynek szélső értékét a szokott módon teljes négyzetté kiegészítéssel megállapíthatjuk.
Pintz János (Budapest, Fazekas M. Gyak. g. I. o. t.)

Kóczy László (Budapest, XI., Bocskai úti ált. isk. 8. o. t.)