Kezdőlap


Feladat:	1037. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bulkai T. , Gegesy F. , Horváth Sándor , Sax Gyula
Füzet:	1966/december, 215 - 216. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Fizikai jellegű feladatok, Mozgással kapcsolatos szöveges feladatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1966/február: 1037. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A hazaérkezés $x$ időpontjának kiszámítását mindhárom megoldásban előkészítettük a mozgások egy-egy további adatának kiszámításával. Ez mindig egy másodfokú egyenletből adódott. Az I. megoldásban a teherautó és a személyautó sebességeinek $v / V$ arányát, a II-ban a teherautó $t$ menetidejét számítottuk ki (a meggondolásban a személyautó $T$ menetidejét is felhasználva), a III-ban pedig azt az $u$ időt, amennyi eltelt az első találkozástól a személyautó $A$ -ba érkezéséig. Az eredmények ‐ a három egyenlet közös $r^{2} + 4 t_{2} (t_{2} - t_{1})$ diszkriminánsának négyzetgyökét $d$ -vel jelölve:

\begin{matrix} I. & \frac{v}{V} = \frac{r \pm d}{2 t_{2}}, és ebből x = t_{3} + t_{2} - \frac{t_{1}}{1 + v / V}; \\ II. & t = t_{2} + \frac{- r \pm d}{2}, T = \frac{t (t_{2} - t_{1})}{t - t_{2}}, és x = t_{3} + \frac{t (t_{2} - t_{1})}{t - t_{1}}; \\ III. & u = \frac{r + d}{2}, és x = t_{3} + u (1 - \frac{r}{t_{2} + u}) . \end{matrix}

d

pozitív értékével adódtak a feladat elfogadott megoldásának eredményei:

v / V = 2 / 3

t

=6 óra, (

T = 4

óra),

u

=8/3 óra, és mindegyikből

x

=16 óra 24 perc.

d

negatív értékével viszont

v / V = - 1 / 2

t

=1 óra 20 perc, (

T = - 0

óra 40 perc),

u = - 2

óra, és mindegyikben

x

=12 óra 40 perc, ezeket ott mellőztük, most az utóbbiakat kell értelmeznünk.

Vegyük úgy, hogy a mozgások a célba érkezés után is folytatódtak, illetőleg már az indulás előtt is folyamatban voltak. Ezzel a feladat első két adatát így értelmezzük: a teherautó éjfélkor haladt át

A

-n, a személyautó

t_{1}

órakor haladt át

B

-n. A sebességek arányának negatív értékét a megszokott beszédmódban úgy értelmezhetjük, hogy a mozgások egyike ellentétes irányú, mint a szövegből gondolnók, vagyis egy irányban haladnak; ezért az eredeti feladatbeli szembetalálkozások helyett szemléletesebb azt mondani, hogy az egyik autó előzi a másikat. Együtt jár ezzel, hogy a megtett utakat is (

A

-tól, ill.

B

-től mérve) egyirányban tekintsük pozitívnak. A szembe haladás szemlélete alapján mondtuk az eredeti megoldásban azt, hogy az első találkozásig megtett utak összege adja

A

és

B

távolságát, ugyanígy a második találkozás utániak összege is. Ehelyett most a megfelelő egyenlet felállításában különbségeket kellene mondanunk. Mivel azonban a sebesség előjelének megváltoztatásával az úté is ellentétesre fordul (

s = v t

, azért képleteink, egyenleteink érvényesek maradnak.
Egy a mellőzött eredményekre vezető feladatszöveg a következő.
,,Egy hosszabb útvonalon két autóbusz közeledik, egy lassúbb,

a

és egy gyorsabb,

b

a

-nak a garázsa az útvonal

A

városában van,

b

-é pedig

B

-ben. Följegyzik a kocsiknak az állomásokon való áthaladását, és azt is, mikor vannak az útvonal ugyanazon pontján. ‐ Egy napon

a

éppen éjfékor haladt át

A

-n,

B

irányában. Egy idő után

B

állomás közölte

A

-val

a

áthaladását.

r

órával később

b

átfutott

A

-n,

t_{1}

órakor

B

-n és

t_{2}

órakor előzte

a

-t. A fordított irányban

b t_{3}

órakor előzte

a

-t. Ebben az útban érdekesen az adódott, hogy

a

ugyanakkor haladt el a garázsa előtt, mint

b

a magáé előtt. Hány órakor történt ez?''
Valóban, itt

b

játssza a fenti személyautó szerepét, a fenti

V

helyére ‐

V

lép, ezért

v / V =^{1} /_{2}

, vagyis az

a

kocsi sebessége fele a

b

-ének, menetidőik az

A B

útszakaszon

t = 1^{h} 20^{m}

, ill.

T = 40^{m}

, tehát az

a

kocsi

1^{h} 20^{m}

-kor haladt át

B

-n. Így a

b

kocsi

r

-rel később,

2^{h}

-kor futott át

A

-n és

T

-vel később,

2^{h} 40^{m}

-kor

B

-n (vagyis valóban

t_{1}

-kor). Mivel

t_{1} = 2 t

, azért eddigre az

a

kocsi

2 \cdot A B

utat tett meg, vagyis előnye

b

-hez képest éppen egyenlő az

A B

úttal. Ezt az előnyt, mivel

b

-nek

a

-val szemben fennálló sebességtöbblete éppen annyi, mint

a

sebessége,

b

újabb

t

idő elteltével hozza be, vagyis

4^{h}

-kor éri el

a

-t, amint a feladat előírja. ‐ Visszafelé

B

-n

A

irányában futnak át, és egyidőben van

b

B

-ben,

a

már az

A

-ban, ezért az újabb előzés csak

A

után következhetik be. Most is

A B

hosszúságú előnyt kell

b

-nek behoznia, ez a számított

x = 12^{h} 40^{m}

után

t

idővel fejeződik be, akkor az óra

14^{h}

-t mutat, tehát teljesült a feladat követelménye.
Ugyanerre a mozgás-párra jutunk a II. és a III. megoldás

t = 1^{h} 20^{m}

, ill.

u = - 2^{h}

eredményének értelmezéséből kiindulva. Az elsőt

t < t_{2}

miatt hagytuk el. Ha már most

a

már

1^{h} 20^{m}

-kor áthaladt

B

-n, és őt csak

4^{h}

-kor előzte meg

b

, akkor

b

-nek az eredetivel ellentétes irányban kellett haladnia. Ugyanígy

u = - 2^{h}

azt jelenti, hogy a

b

autó

4^{h}

előtt 2 órával, azaz már

2^{h}

-kor áthaladt

A

-n;

B

-n ellenben csak

2^{h} 40^{m}

-kor, tehát

A

-ból

B

irányában haladt.
Horváth Sárodor (Budapest, I. István g. II. o. t.)

Sax Gyula (Budapest, Kölcsey F. g. I. o. t.) kiegészítésekkel