Kezdőlap


Feladat:	1036. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Andor Cs. , Berács J. , Bölcskei Hedvig , Cserha Gabriella , Csirmaz L. , Döme Éva , Eördögh G. , Geier J. , Horváth S. , Karger Kocsis J. , Kele A. , Kóczy L. , Koren A. , Kovács T. , Lempert L. , Mérő L. , Mészáros J. (Makó) , Mitrocsák Anikó , Moson P. , Murvai Éva , Pap Márta , Párdányi Zs. , Péli Katalin , Perémy G. , Pintz J. , Rajczy P. , Somogyi Á. , Szalay Marianne , Szilléry A. , Szőnyi Magdolna , Tátray P. , Vályi I. , Vetier A.
Füzet:	1966/december, 214 - 215. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Racionális számok és tulajdonságaik, Algebrai átalakítások, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1966/február: 1036. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Mindegyik tört könnyen felírható egy egész szám és egy pozitív valódi tört különbségeként, vagyis két szomszédos egész szám közé zárható:

\begin{matrix} t_{1} = \frac{100^{100} + 100^{10} - (100^{10} - 1)}{100^{90} + 1} = 100^{10} - \frac{100^{10} - 1}{100^{90} + 1} > 100^{10} - 1, \\ t_{2} = 100^{10} - \frac{100^{10} - 1}{100^{89} + 1}, t_{3} = 100^{10} - \frac{100^{10} - 1}{100^{91} + 1}; \\ t_{4} = 101^{10} - \frac{101^{10} - 1}{101^{91} + 1}, t_{5} = 101^{10} - \frac{101^{10} - 1}{101^{90} + 1}; \\ t_{6} = 99^{10} - \frac{99^{10} - 1}{99^{89} + 1}, t_{7} = 99^{10} - \frac{99^{10} - 1}{99^{90} + 1} \end{matrix}

(valóban, pl.

0 < 100^{10} - 1 < 100^{90} + 1

). Az első három tört átalakításában a kisebbítendő ugyanaz a szám, úgyszintén a kivonandó számlálója is, így e törtek akkor állnak növekedő sorrendben, ha kivonandóik csökkenő rendben állnak, ez pedig akkor teljesül, ha nevezőik növekvő sorrendben állnak, eszerint

t_{2} < t_{1} < t_{3}

. Ugyanígy

t_{5} < t_{4}

és

t_{6} < t_{7}

.
Másrészt a kisebbítendők között nyilvánvalóan fennáll

99^{10} < 100^{10} - 1 < 100^{10} < 101^{10} - 1 < 101^{10}

. Így a törtek növekedő sorrendje:

\begin{matrix} t_{6}, t_{7}, t_{2}, t_{1}, t_{3}, t_{5}, t_{4} . \end{matrix}

Péli Katalin (Makó, József A. G. II. o. t.)