Kezdőlap


Feladat:	1033. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Szentmiklósi László
Füzet:	1966/december, 213 - 214. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Derékszögű háromszögek geometriája, Magasságvonal, Súlypont, Háromszögek szerkesztése, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1966/január: 1033. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. A feltevés miatt a $B C S$ egyenlő szárú háromszög $B E$ magassága felezi a $C S$ alapot. Másrészt $S$ harmadolja a $C$ -ből induló $C F$ súlyvonalat, így $S F = S C / 2 = S E$ , tehát $F E = 2 F S$ , $F C = 3 \cdot F S$ . Az $F C D$ és $F B E$ közös hegyesszöggel bíró derékszögű háromszögek hasonlók, ezért

\begin{matrix} F D : F C = F E : F B, \\ F D \cdot F B = F D (F D + D B) = F C \cdot F E = 6 \cdot F S^{2} . & (1) \end{matrix}

A B C

derékszögű háromszög magasságára fennáll:

\begin{matrix} C D^{2} = A D \cdot B D = 2 F D \cdot B D, \end{matrix}

így a

C F D

derékszögű háromszögből

\begin{matrix} F D^{2} + C D^{2} = F C^{2}, azaz F D^{2} + 2 F D \cdot B D = 9 \cdot F S^{2} . \end{matrix}

(2)

Kivonva (1) háromszorosából (2) kétszeresét:

\begin{matrix} F D (3 F D + 3 D B - 2 F D - 4 B D) = F D (F D - B D) = 0. \end{matrix}

Nem lehet

F D = 0

, ezért

F D - B D = 0

, azaz

F D = B D

A D = 2 B D

, vagyis a

D

talppont harmadolja az

A B

átfogót.

II. A talált tulajdonság alapján a keresetthez hasonló háromszöget szerkeszthetünk, ezt pedig hasonlósági transzformációval a kívánt méretűre nagyíthatjuk. A 2. ábrán

B

-től 3-szor mértük fel a

B D^{*}

szakaszt, a végpont

A^{*}

, az

A^{*} B

átmérőjű félkör és a

D^{*}

-ban

B D^{*}

-ra állított merőleges metszéspontja

C^{*}

, a

B C^{*}

félegyenesre felmértük az adott

B C

szakaszt és a végpontban állított merőlegessel a

B D^{*}

félegyenesből kimetszettük

A

-t.
Elég azt bizonyítanunk, hogy az

A^{*} C^{*} D^{*}

háromszög

S^{*}

súlypontjára nézve

S^{*} B = C^{*} B

, mert így a nagyításban

S B = C B

lesz. Legyen

S^{*}

vetülete a

B A^{*}

-on

S'

, és

D^{*} A^{*}

felezőpontja

F^{*}

. Így

S^{*} S' = C^{*} D^{*} / 3

, továbbá

S' D^{*} = 2 F^{*} D^{*} / 3 = A^{*} D^{*} / 3 = 2 B D^{*} / 3

S' B = 5 B D^{*} / 3

, és a szerkesztésnél fogva

C^{*} D^{* 2} = A^{*} D^{*} \cdot B D^{*} = 2 B D^{* 2}

, hiszen

B A^{*} C^{*}

derékszögű háromszög.

Ezért

\begin{matrix} B S^{^{*} 2} = S^{*} S'^{2} + S' B^{2} = \frac{C^{*} D^{* 2}}{9} + \frac{25 B D^{* 2}}{9} = \frac{C^{*} D^{* 2}}{9} + \frac{16 B D^{* 2}}{9} + \\ + B D^{* 2} = \frac{C^{*} D^{*^{2}}}{9} + \frac{8 C^{*} D^{* 2}}{9} + B D^{* 2} = C^{*} D^{* 2} + B D^{* 2} = B C^{* 2}, \end{matrix}

tehát valóban

B S^{*} = B C^{*}

Szentmiklósi László (Kiskunhalas, Szilády Á. g. I. o. t.)

Megjegyzések. 1. A

B C S

háromszög közvetlenül megszerkeszthető abból, hogy

C S = 2 C F / 3 = 2 B C / 3

, az adott szakasz

^{2} /_{3}

része, hiszen a talált összefüggés szerint

F C D Δ ≃ B C D Δ

.
2. A vizsgált kérdéshez kapcsolódik az 1057. gyakorlat.^{$^{*}$}

^{$^{*}$}Lásd ezen számban 221. old.