Kezdőlap


Feladat:	1032. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Koren András , Mérő László , Moson Péter , Rajczy Péter , Takács László
Füzet:	1966/november, 147 - 148. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Négyzetszámok összege, Pitagoraszi számhármasok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1966/január: 1032. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A szokásos jelöléseket használva a követelmény:

\begin{matrix} s = k^{2}, s - a = l^{2}, s - b = m^{2}, s - c = n^{2}, \end{matrix}

ahol

k

l

m

n

természetes számok. Az utolsó három egyenlet összegét az elsővel egybevetve

\begin{matrix} (s - a) + (s - b) + (s - c) = 3 s - (a + b + c) = 3 s - 2 s = s, \end{matrix}

így a keresett természetes számokra teljesülnie kell az

\begin{matrix} l^{2} + m^{2} + n^{2} = k^{2} \end{matrix}

(1)

egyenletnek. Ennek az egyenletnek minden megoldása egy megfelelő számhármast ad:

\begin{matrix} a = s - l^{2} = k^{2} - l^{2}, b = k^{2} - m^{2}, c = k^{2} - n^{2}, \end{matrix}

(2)

ugyanis ezekre szükségképpen teljesülnek a háromszög egyenlőtlenségek, hiszen ha pl.

\begin{matrix} 0 < s - a = \frac{b + c - a}{2}, akkor b + c > a . \end{matrix}

Megmutatjuk, hogy

l

értékét tetszés szerinti természetes számnak,

m

-ét pedig tetszés szerinti páros számnak választva (1)-nek egy megoldását kapjuk. Ugyanis

l^{2} + m^{2} = M

jelöléssel

\begin{matrix} k^{2} - n^{2} = (k - n) (k + n) = M, \end{matrix}

és itt

M

mindig felbontható olyan

u

v

természetes számpár (

u < v

) szorzatára, hogy a

\begin{matrix} k - n = u, k + n = v \end{matrix}

rendszerből

\begin{matrix} k = \frac{v + u}{2}, n = \frac{v - u}{2} \end{matrix}

(3)

természetes számok. Valóban, ha

l

páratlan, akkor

M

is páratlan, és mindenesetre megfelel

u = 1

v = M

(

> 1

), mert így a (3)-beli törtek számlálója páros szám; ha pedig

l

páros szám, akkor

M

osztható

4

-gyel, mert mindkét tagja osztható vele, így

u = 2

és

v = M / u = M / 2

(

> 2

) mindegyike páros,

k

és

n

ismét természetes szám.
Mindenesetre egyenlő szárú háromszöget kapunk

l = m

választással. Legyen pl.

l = m = 2

, így

M = 8

; a fentiek szerint

u = 2

és

v = 4

választással (3)-ból, majd (2)-ből

k = 3

n = 1

a = b = 5

c = 8

s = 9

és

t = k l m n = 12

.
Az

l \neq m

választás nem biztosítja, hogy a háromszög oldalai különbözők lesznek ‐ pl.

l = 1

m = 2

az előbbi példára vezet ‐, azonban néhány próba után a második követelményt kielégítő megoldást is kapunk: az

l = 3

m = 2

számpárból kiindulva

k = 7

n = 6

a = 40

b = 45

c = 13

;

s = 49

t = 252

Koren András (Budapest, I. István g. II. o. t.)

Megjegyzések. 1. Úgy is kaphatunk megoldást (1)-re, hogy egy tetszés szerinti pitagoraszi számhármashoz ‐ pl.

3

4

5

‐ olyan másikat keresünk, melyben az első hármas átfogószáma az egyik befogószám szerepét játssza, a példát folytatva

5

12

13

. Így

k = 13

l = 3

m = 4

n = 12

;

a = 160

b = 153

c = 25

. Ennél azonban kisebb háromszög oldalhármas is található.

Mérő László (Budapest, Berzsenyi D. g. II. o. t.)

2. Több dolgozatban olvasható, hogy keresni kellene a pitagoraszi számhármasokat megadó

{(u^{2} - v^{2})}^{2} + {(2 u v)}^{2} = {(u^{2} + v^{2})}^{2}

azonossághoz hasonló olyan azonosságot, amelyből (1)-re több megoldás képezhető (ugyanis a közkézen forgó gyűjteményekben ilyen nem található). Néhányan közöltek is ilyet.
Minden páros

m

szám négyzetéhez található olyan

l

n

egész számpár, hogy

2 l n = m^{2}

. Ekkor (1) bal oldala

l^{2} + 2 l n + n^{2} = {(l + n)}^{2}

, tehát

k = l + m^{2} / 2 l

. (Pl.

m = 2

l = 1

n = 2

k = 3

.) A törtek kiküszöbölésével a

{(2 l^{2})}^{2} + {(2 l m)}^{2} + {(m^{2})}^{2} = {(2 l^{2} + m^{2})}^{2}

azonosság adódik, amely az

l

n

paraméterek bármely pozitív egész értékpárja esetére megoldást ad (de nem ad meg minden megoldást; Rajczy Péter, Bp., Eötvös Gimn.).
Egy másik,

2

paraméteres megoldás:

{(2 u v)}^{2} + {(4 u v)}^{2} + {(u^{2} - 5 v^{2})}^{2} = {(u^{2} + 5 v^{2})}^{2}

(Moson Péter, Bp., Fazekas Gimn.).
Egy

1

paraméteres megoldás:

u^{2} + {(u + 1)}^{2} + {[u (u + 1)]}^{2} = {[u (u + 1) + 1]}^{2}

(Takács László, Sopron, Széchenyi Gimn.). Ebből

u = 3

esetén a már látott

3

4

12

13

megoldás adódik.
Lásd még az ezen számban kitűzött 1085. gyakorlatot.