A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A szokásos jelöléseket használva a követelmény: | | ahol , , , természetes számok. Az utolsó három egyenlet összegét az elsővel egybevetve | | így a keresett természetes számokra teljesülnie kell az egyenletnek. Ennek az egyenletnek minden megoldása egy megfelelő számhármast ad: | | (2) | ugyanis ezekre szükségképpen teljesülnek a háromszög egyenlőtlenségek, hiszen ha pl. Megmutatjuk, hogy értékét tetszés szerinti természetes számnak, -ét pedig tetszés szerinti páros számnak választva (1)-nek egy megoldását kapjuk. Ugyanis jelöléssel és itt mindig felbontható olyan , természetes számpár () szorzatára, hogy a rendszerből természetes számok. Valóban, ha páratlan, akkor is páratlan, és mindenesetre megfelel , (), mert így a (3)-beli törtek számlálója páros szám; ha pedig páros szám, akkor osztható -gyel, mert mindkét tagja osztható vele, így és () mindegyike páros, és ismét természetes szám. Mindenesetre egyenlő szárú háromszöget kapunk választással. Legyen pl. , így ; a fentiek szerint és választással (3)-ból, majd (2)-ből , , , , és . Az választás nem biztosítja, hogy a háromszög oldalai különbözők lesznek ‐ pl. , az előbbi példára vezet ‐, azonban néhány próba után a második követelményt kielégítő megoldást is kapunk: az , számpárból kiindulva , , , , ; , .
Koren András (Budapest, I. István g. II. o. t.)
Megjegyzések. 1. Úgy is kaphatunk megoldást (1)-re, hogy egy tetszés szerinti pitagoraszi számhármashoz ‐ pl. , , ‐ olyan másikat keresünk, melyben az első hármas átfogószáma az egyik befogószám szerepét játssza, a példát folytatva , , . Így , , , ; , , . Ennél azonban kisebb háromszög oldalhármas is található.
Mérő László (Budapest, Berzsenyi D. g. II. o. t.)
2. Több dolgozatban olvasható, hogy keresni kellene a pitagoraszi számhármasokat megadó azonossághoz hasonló olyan azonosságot, amelyből (1)-re több megoldás képezhető (ugyanis a közkézen forgó gyűjteményekben ilyen nem található). Néhányan közöltek is ilyet. Minden páros szám négyzetéhez található olyan , egész számpár, hogy . Ekkor (1) bal oldala , tehát . (Pl. , , , .) A törtek kiküszöbölésével a azonosság adódik, amely az , paraméterek bármely pozitív egész értékpárja esetére megoldást ad (de nem ad meg minden megoldást; Rajczy Péter, Bp., Eötvös Gimn.). Egy másik, paraméteres megoldás: (Moson Péter, Bp., Fazekas Gimn.). Egy paraméteres megoldás: (Takács László, Sopron, Széchenyi Gimn.). Ebből esetén a már látott , , , megoldás adódik. Lásd még az ezen számban kitűzött 1085. gyakorlatot. |
|