Kezdőlap


Feladat:	1028. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Sas Éva
Füzet:	1966/november, 143. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Műveletek polinomokkal, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1966/január: 1028. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. A kérdéses másodfokú polinom $x^{2} + p x + q$ alakú, mert $x^{2}$ együtthatója csak $1$ lehet.

\begin{matrix} {(x^{2} + p x + q)}^{2} = x^{4} + 2 p x^{3} + (p^{2} + 2 q) x^{2} + 2 p q x + q^{2} \end{matrix}

akkor és csak akkor azonos (1)-gyel, ha az

\begin{matrix} a = 2 p, b = p^{2} + 2 q, c = 2 p q, d = q^{2} \end{matrix}

(3)

egyenlőségek mindegyike teljesül. Ezeket (2) bal oldalába beírva valóban

\begin{matrix} 8 p^{3} q^{2} - 8 p q^{2} (p^{2} + 2 q) + 16 p q^{3} = 0. \end{matrix}

Pl. az

{(x^{2} + 3 x + 2)}^{2}

polinom esetében

p = 3

q = 2

;

a = 6

b = 13

c = 12

d = 4

, ezeket (2) bal oldalába helyettesítve valóban

0

-t kapunk.
II. Egyetlen példa elég annak megmutatására, hogy nem minden a (2)-t kielégítő

a

b

c

d

számnégyeshez létezik a kérdéses

x^{2} + p x + q

polinom. Ilyen pl.

a = 1

b = c = d = 0

, mert

x^{4} + x^{3}

nem négyzete semmilyen polinomnak. (Látható ez (3)-ból is, az utolsó egyenletből

q = 0

, így a másodikból

p = 0

, ezek a harmadik egyenletet kielégítik, de az elsőt nem.)
Általában a

p

q

számpárt mindig meghatározza

a

b

c

d

közül már kettőnek az értéke (3) megfelelő egyenletei alapján (esetenként több megoldás is lehet, de mindenesetre véges számú), és ezek a további két egyenletet általában nem elégítik ki. Viszont (2) teljesíthető akkor is, ha a

p

q

meghatározásához felhasznált két betűn túl egy harmadiknak az értékét is megválasztottuk, pl. bármely

a

c

d

értékhármas esetén a

b = (a c^{2} + 8 c d) / 4

a d

értékkel ‐ hacsak

a

d

egyike sem

0

, különben pedig bármely

b

-vel.

Sass Éva (Szekszárd, Garay J. g. I. o. t.)

Megjegyzés. A (2) összefüggés kiadódik, ha (3)-ból

p

-t és

q

-t küszöböljük ki. Az első és a harmadik egyenlet fölhasználásával

p = a / 2

q = c / 2 p = c / a

, ezeket a második egyenletbe helyettesítve, majd a negyedik fölhasználásával

a^{2} = {(c / q)}^{2} = c^{2} / d

-t írva:

\begin{matrix} b = \frac{a^{2}}{4} + \frac{2 c}{a} = \frac{c^{2}}{4 d} + \frac{2 c}{a} . \end{matrix}

Eszerint (2) következménye (3)-nak, de természetesen nem ekvivalens vele.