Kezdőlap


Feladat:	1024. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Bálványos Z. , Bíró S. , Bozóky-Szeszich Á. , Csörgei J. , Erdődi Gy. , Fehér Mária , Gergely I. , Hegedűs A. , Horváth Rozália , Horváth S. , Institoris Zs. , Juhász Ágnes , Kóczy L. , Mérő L. , Perémy G. , Pintz J. , Sax Gy. , Somos E. , Szabó Ágnes , Takács L. , Turchányi Piroska , Vályi I.
Füzet:	1966/október, 71. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Pitagorasz-tétel alkalmazásai, Derékszögű háromszögek geometriája, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül, Gyakorlat, Síkgeometriai bizonyítások
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1965/december: 1024. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$b$ -nek $a$ -n levő vetülete $a - q$ , így az $a$ -ra merőleges $m_{a}$ magasság két derékszögű háromszögből fejezhető ki:

\begin{matrix} m_{a}^{2} = b^{2} - {(a - q)}^{2} = c^{2} - q^{2} . \end{matrix}

(3)

Innen az állítás úgy adódik, hogy (2) alapján kiküszöböljük

b

-t, majd

a

-val osztunk és rendezünk:

\begin{matrix} b = \frac{a}{2} + c, & (4) \\ a c + 2 a q - \frac{3 a^{2}}{4} = 0, c + 2 q = \frac{3 a}{4} . \end{matrix}

Az (1) feltételnek szorosan véve csak a

b > c

részét használtuk fel, enélkül a (2) szerinti

a

nem lehet háromszög oldala. (3) és az állítás a (2)-t kielégítő tetszés szerinti pozitív

a

esetén akkor is érvényes marad, ha

b

-vel szemben tompaszög van, de

q

-t negatívnak tekintjük. Ha viszont

q

mindig

c

vetületének abszolút értékét jelöli, akkor tompaszögű háromszög esetében

b

vetülete

a + q

, és az állítás így módosul:

c - 2 q = 3 a / 4

Juhász Ágnes (Budapest, Berzsenyi D. g. II. o. t.)

Megjegyzés. (4)-et megkapjuk úgy is, hogy felírjuk a szelőszakaszok szorzatainak egyenlőségét az

A

körül

A B

sugárral írt kör által a

C A

C B

egyeneseken létrehozott szeletekre.
Turchányi Piroska (Budapest, Ságvári E. gyak. g. II. o. t.)