Kezdőlap


Feladat:	1022. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Szövényi László
Füzet:	1966/október, 70. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenlő szárú háromszögek geometriája, Körülírt kör, Gyakorlat, Középponti és kerületi szögek
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1965/december: 1022. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Mindkét állítás következik abból, hogy $A_{2}$ az $A C A_{1}$ háromszög köré írt kör középpontja, mert így $A_{2} A$ és $A_{2} A_{1}$ e kör sugarai, az $A A_{2} A_{1}$ szög pedig a kör kisebb $A A_{1}$ ívén nyugvó középponti szög, így kétszerese az $A C A_{1}$ kerületi szögnek, amely pedig $60^{\circ}$ .

Legyen

A_{1}

és

B_{1}

tükörképe a háromszög

B D

magasságára nézve

A'_{1}

, ill.

B'_{1}

, és

C_{1}

vetülete

C A

-ra

E

. Ekkor

D B_{1} = B_{1} B'_{1} / 2 = A C / 6

. Továbbá

A C_{1} B'_{1}

egyenlő oldalú háromszög, mert

A B'_{1} = C B_{1} = A C_{1} = A C / 3

, és

A

-nál

60^{\circ}

-os szöge van, ezért

E

felezi

A B_{1}'

-t,

A E = A C / 6

, és

D E = A C / 3 = 2 D B_{1}

. Eszerint

D

harmadolja a

B_{1} E

szakaszt. Mivel még

B D ‖ C_{1} E

, ezért

B D

harmadolja

B_{1} C_{1}

-et, átmegy

A_{2}

-n, tehát

A_{2} A = A_{2} C

, másrészt

A_{2} A_{1} = A_{2} A_{1}'

. Már csak azt kell belátnunk, hogy

A_{2} A = A_{2} A'_{1}

. Ez abból adódik, hogy

A B_{1} A'_{1}

ugyancsak egyenlő oldalú háromszög,

C_{1}

felezi

A A'_{1}

-t, tehát

B_{1} C_{1}

merőleges rá,

A_{2}

pedig a

B_{1} C_{1}

szakasz pontja.

Szövényi László (Budapest, Bláthy O. techn. II. o. t.)

Megjegyzés. Az állítások számítással is bizonyíthatók.