Feladat: 1020. matematika gyakorlat Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):  Bíró Sándor 
Füzet: 1966/október, 68 - 69. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Paraméteres egyenlőtlenségek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1965/december: 1020. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Az összehasonlítandó két kifejezés K különbsége így alakítható át

K=ab-(ad+bc)=b(a-c)-ad=b(a-c)-d(a-c)-cd=(1)=(b-d)(a-c)-cd.

Az első szorzat mindegyik tényezője nagyobb, vagy ugyanakkora, mint a második szorzat ugyanannyiadik tényezője, ugyanis a feltevések miatt
2 c+d≤b,  c+d≤a, tehát(2)
(0≤)c≤b-d,  (0≤)d≤a-c.(2a)
Ezek összeszorzásával
(0≤)cd≤(b-d)(a-c),(3)
és így K≥0. Ezt kellett bizonyítanunk.
A vizsgált kifejezések csak akkor egyenlők, ha K=0, vagyis ha (3)-ban egyenlőség áll. Ez pedig csak akkor teljesül, ha (2a)-ban, és így (2)-ben is mindkét helyen egyenlőség áll, vagyis ha a=b=c+d.
 

II. megoldás. Jelöljük a és b nagyobbikát n-nel, kisebbikét k-val, megengedve az n=k esetet is. Ekkor
ad+bc≤nd+nc=n(c+d)≤n⋅k=ab.

 Biró Sándor (Budapest, Radnóti M. gyak. g. II. o. t.)
 
 

Megjegyzés. A II. megoldás így szemléltethető, feltéve, hogy a≥b : az a és b oldalú téglalap a oldalával húzzunk párhuzamost d és c+d távolságban. Ezek a téglalapból egy ad és egy ac≥bc területű téglalapot metszenek le. ‐ Egyenlőség csak akkor áll fenn, ha a felső sáv nem jött létre, mert b=c+d, és a középső sávot egészen igénybe vettük, vagyis a=b.