Kezdőlap


Feladat:	1019. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Szalay István
Füzet:	1966/április, 172 - 173. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1965/december: 1019. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Szorozzuk meg (2)-t $x_{1}$ -gyel. A bal oldal utolsó két tagjából $a$ -t kiemelve a zárójelben (1) első két tagjának $- 1$ -szerese adódik, ami $a^{2}$ -nel egyenlő, így

\begin{matrix} x_{1} x_{2} x_{3} + a (- x_{1} x_{2} + a x_{1}) = x_{1} x_{2} x_{3} + a \cdot a^{2} = 0, \end{matrix}

vagyis (4) fennáll.
(1)-et

- x_{3}

-mal szorozva és mindjárt felhasználva (4)-et

\begin{matrix} a^{3} + a x_{3} x_{1} - a^{2} x_{3} = a (x_{3} x_{1} - a x_{3} + a^{2}) = 0. \end{matrix}

Mivel

a \neq 0

, különben ugyanis (1)-ből

x_{1} x_{2} = 0

, amit a feltevés kizárt, azért itt a zárójeles kifejezés

0

, vagyis (3) fennáll.
(1)-ből, ill. (2)-ből

\begin{matrix} x_{1} = \frac{a^{2}}{a - x_{2}}, ill. x_{3} = a - \frac{a^{2}}{x_{2}} = \frac{a (x_{2} - a)}{x_{2}} . \end{matrix}

Itt

a - x_{2} \neq 0

, különben (1)-ből bármely

x_{1}

esetén

a = 0

, ami lehetetlen.
Ezekkel

\begin{matrix} x_{1} - x_{2} = \frac{a^{2} - a x_{2} + x_{2}^{2}}{a - x_{2}}, x_{2} - x_{3} = \frac{x_{2}^{2} - a x_{2} + a^{2}}{x_{2}}, \\ x_{3} - x_{1} = \frac{- a {(x_{2} - a)}^{2} - a^{2} x_{2}}{x_{2} (a - x_{2})} = \frac{- a (x_{2}^{2} - a x_{2} + a^{2})}{x_{2} (a - x_{2})} . \end{matrix}

3

számláló közös tényezője nem

0

, mert eltűnése esetén

x_{1}

x_{2}

és

x_{3}

egyenlők lennének. Így (5) bal oldala

\begin{matrix} \frac{(a - x_{2}) + x_{2}}{x_{2}^{2} - a x_{2} + a^{2}} - \frac{x_{2} (a - x_{2})}{a (x - a x_{2} + a^{2})} = \frac{a^{2} - a x_{2} + x_{2}^{2}}{a (x_{2}^{2} - a x_{2} + a^{2})} = \frac{1}{a}, \end{matrix}

tehát (5) is fennáll.

Szalay István (Budapest, Piarista g. II. o. t.)