Kezdőlap


Feladat:	1018. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Michaletzky György
Füzet:	1966/szeptember, 27. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Racionális számok és tulajdonságaik, Nevezetes azonosságok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1965/december: 1018. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Gábor aggálya jogos, hiszen pl. a $(2^{3} + 1^{3}) / (3^{3} + 1^{3}) = 9 / 28$ tört nem is egyszerűsíthető.
Ferinek viszont az adott esetben igaza volt, (1) értéke $281 484 / 371 961$ , ami 3351-gyel egyszerűsítve 84/111, és itt $84 = 19 + 65$ , $111 = 46 + 65$ .
Általánosítsuk a feladatot úgy, hogy a 19, 65, 46 számok helyére egy-egy betűt írunk. Ismert azonosságok felhasználásával

\begin{matrix} \frac{a^{3} + b^{3}}{c^{3} + b^{3}} = \frac{a + b}{c + b} \cdot \frac{a^{2} - a b + b^{2}}{c^{2} - c b + b^{2}}, \end{matrix}

eszerint a bemutatott egyszerűsítés akkor helyes, ha a második tört értéke 1, számlálója és nevezője egyenlő, különbségük 0, vagyis ha

\begin{matrix} a^{2} - c^{2} - (a - c) b = (a - c) (a + c - b) = 0. \end{matrix}

Feltehetjük, hogy

a - c \neq 0

, hiszen

a = c

esetén az egyszerűsítés nem volna érdekes, így az eljárás csak akkor helyes, ha

a

b

és

c

közt fennáll az

a + c - b = 0

összefüggés. Ez teljesült (1)-ben, de az ellenpéldában nem.

Michaletzky György (Budapest, Piarista g. I. o. t.)

Megjegyzés. Nem kell külön kikötni, hogy az egyszerűsítő tényező 0-tól különböző legyen, mert

\begin{matrix} c^{2} - c b + b^{2} = {(c - \frac{b}{2})}^{2} + \frac{3 b^{2}}{4}, \end{matrix}

ami csak

c = b = 0

esetén válik 0-vá.