Feladat: 1016. matematika gyakorlat Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):  Csomor Rita ,  Fáykiss István ,  Podhraczky István 
Füzet: 1966/szeptember, 23 - 24. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Derékszögű háromszögek geometriája, Trapézok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1965/november: 1016. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Legyen az ABCD trapézban AB∥CD⊥AD, és messe a BC szárra az E felezőpontjában emelt merőleges az AD egyenest F-ben. Azt kell belátnunk, hogy BFC∢=90∘.

 
 

Tükrözzük az alakzatot az E pontra, így B és C egymásba megy át, és jelöljük A, D, F képét rendre A'-vel, D'-vel, F'-vel. Ezek rendre DC, AB, FE meghosszabbítására esnek, és D'A=DA'=DC+CA'=DC+BA=AD. Így ADA'D' egy négyzet, és E a középpontja, F' az A'D' oldalon van. Másrészt FF'⊥BC, így FF' a négyzet E körüli 90∘-os elforgatásával a BC szakaszba megy át, tehát BFCF' is négyzet, BFC pedig derékszögű háromszög, amint a feladat állítja.
 
Csomor Rita (Székesfehérvár, Ybl M. g. I. o. t.)

 
II. megoldás. Használjuk az előbbi jelöléseket, és legyen AD felezőpontja G. Ekkor GE a trapéz középvonala, a feltevés szerint GE=GA, AEG és DEG egybevágó egyenlő szárú derékszögű háromszögek, AE=DE. Válasszuk a jelölést úgy, hogy CD<AB, ekkor DCE∢>90∘>CEG∢>45∘, ezért EF a GEA szögtartományban halad, F az AG szakaszon van, DCE és AFE merőleges szárú tompaszögek, egyenlők. Mivel még FAE∢=CDE∢=45∘, azért az AEF és DCE háromszögek egybevágók, FE=CE, F a BC átmérő fölötti Thalész-körön van, a BFC∢ derékszög, q. e. d. Az állítás CD=AB esetén is igaz.
 
Podhraczky István (Debrecen, Református koll. g. I. o. t.)

 
Megjegyzés. Hasonlóan adódik az állítás az EGF és EHB háromszögek egybevágó voltából, ahol H az E vetülete AB-n (EG=EH, G∢=H∢, E∢=E∢).
 

III. megoldás. Mérjük fel a CD alapot A-tól D felé, és legyen a végpont F*. Az ABF* és DF*C derékszögű háromszögek egybevágók, mert AD=AB+CD>CD=AF* miatt F* az AD szakaszon van, így DF*=AB, ennélfogva BF*=CF*, vagyis F* azonos a fenti F ponttal. Így AFB és DFC pótszögek, és BFC∢=90∘.
 
Fáy Kiss István (Budapest, Piarista g. I. o. t.)

 
Megjegyzés. Felhívjuk a figyelmet egy téves okoskodásra. Többen a DFC és ABF háromszögek egybevágó voltát abból vélték bizonyítani, hogy egybevágóság áll fenn egyrészt az ABEF és DFEC négyszögek között, mert ,,egyenlők az összes szögeik és átlóik is páronként: AE=DE, BF=FC'', másrészt a BEF és FEC háromszögek között, és egybevágó idomok megfelelő részeit elhagyva egybevágó idomok maradnak vissza. Az idézőjelbe tett rész nem elegendő az egybevágósághoz, hiszen így pl. az egy körbe beírt összes téglalapok egybevágók volnának. Ez a meggondolás nem használta fel az AD=AB+DC összefüggést.