Kezdőlap


Feladat:	1015. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Futó Ilona , Hárs László
Füzet:	1966/szeptember, 22 - 23. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Középpontos tükrözés, Ponthalmazok, Diszkusszió, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1965/november: 1015. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Az $O E_{1} F_{2} = H_{1}$ háromszög egyenlő szárú, $E_{1}$ -nél tompaszöge van, így $F_{2}$ -ből húzott magasságának $F_{2}'$ talppontja távolabb van $O$ -tól, mint $E_{1}$ , és $E_{1}$ -nél levő külső szöge: $F_{2} E_{1} F_{2}' ∢ = 2 \cdot 24^{\circ} = 48^{\circ}$ (1. ábra). Az $E_{1} F_{2} E_{3}$ háromszög egyenlő szárú, $E_{3}$ az $E_{1}$ tükörképe $F_{2}'$ -re, így $F_{2} E_{3} F_{2}' ∢ = F_{2} E_{3} O ∢ = 48^{\circ}$ , az $O F_{2} E_{3}$ háromszögnek $F_{2}$ -nél tompaszöge van. $E_{3}$ -nak $f$ -en levő $E_{3}'$ vetületére $O E_{3}' > O F_{2}$ , és $E_{3} F_{2} E_{3}' ∢ = 3 \cdot 24^{\circ} = 72^{\circ}$ .
A további kijelölt pontokat is úgy állítjuk elő, hogy az utoljára kijelölt pontnak a másik adott egyenesen levő vetületére tükrözzük az utolsó előtti kijelölt pontot. A mondott vetületnek az utolsó előtti ponthoz képest elfoglalt helyzetét pedig abból állapítjuk meg, hogy az utoljára beillesztett szakasz és $O$ által meghatározott háromszögben az utolsó előtti pontnál mint csúcsnál hegyesszög van-e vagy tompaszög.

\begin{matrix} O F_{4} > O F_{2}, & O F_{4} E_{3} ∢ = 72^{\circ}, O E_{3} F_{4} ∢ = 180^{\circ} - 4 \cdot 24^{\circ} < 90^{\circ}; \\ O F_{4}' < O E_{3} & > O E_{5}, O E_{5} F_{4} ∢ = 4 \cdot 24^{\circ}, O F_{4} E_{5} ∢ = 180^{\circ} - 5 \cdot 24^{\circ} < 90^{\circ}; \\ továbbá, mivel O F_{4} E_{3} ∢ > O F_{2} E_{1} ∢, azért E_{5} az E_{1} E_{3} szakasz \\ belsejében van, nem azonos E_{1} -gyel sem; \\ O E_{5}' < O F_{4} & > O F_{6}, O F_{6} E_{5} ∢ = 5 \cdot 24^{\circ}, O E_{5} F_{6} ∢ = 180^{\circ} - 6 \cdot 24^{\circ} < 90^{\circ}; \\ továbbá mivel O E_{5} F_{6} ∢ < O E_{3} F_{2} ∢, F_{6} az O F_{2} szakasz \\ belsejében van, különböző az F_{2} ponttól is . \\ O F_{6}' < O E_{5} & > O E_{7}, O E_{7} F_{6} ∢ = 6 \cdot 24^{\circ}, O F_{6} E_{7} ∢ = 180^{\circ} - 7 \cdot 24^{\circ} = 12^{\circ}; \\ továbbá O F_{6} E_{7} ∢ < O F_{2} E_{1} ∢, E_{7} az O E_{1} belsejében van . \\ O E_{7}' < O F_{6} . \end{matrix}

Itt először lépett fel, hogy az utolsó előtti pontnál levő szög kisebb

24^{\circ}

-nál. Emiatt

F_{8}

túl esik

O

-n, ezért

O F_{8} E_{7} ∢ = O F_{6} E_{7} ∢ = 12^{\circ}

, és így

O E_{7} F_{8} ∢ = E_{7} O F_{6} ∢ - E_{7} F_{8} O ∢ = 12^{\circ} = O F_{8} E_{7} ∢

. Eszerint az

O E_{7} F_{8}

háromszög egyenlő szárú, és

F_{8}

E_{7}

tükörképe az

e

és

f

közti

156^{\circ}

-os szögeket felező

t

egyenesre mint tengelyre. Ez a tükrözés

e

-t és

f

-et egymásba viszi át, ezért az

F_{8} E_{9}

szakasz az

E_{7} F_{6}

tükörképe lesz, vagyis

E_{9}

F_{6}

tükörképe, és folytatólag az

F_{10} E_{11} F_{12} E_{13} F_{14} E_{15}

törött vonal az előzőkben kapott

E_{5} F_{4} E_{3} F_{2} E_{1} O

törött vonal tükörképe. Ámde

O

a tengelyen van, tehát

E_{15}

azonos

O

-val. Ezzel az állítást bebizonyítottuk.

2. ábra

II. Az állítás

e

és

f

közti

54^{\circ}

-os hajlásszög esetén is igaz, itt

F_{6}

csak

F_{4}

-be eshet, mert

E_{5}'

azonos

F_{4}

-gyel (2. ábra).

Futó Ilona (Dévaványa, gimn. II. o. t.)
Hárs László (Budapest, Kölcsey F. g. I. o. t.)