Kezdőlap


Feladat:	1013. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Török Bálint
Füzet:	1966/szeptember, 19. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1965/november: 1013. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Képezzük először $K$ első két törtjének összegét. Közös nevezőnek az $N = (a - b) (b - c) (c - a)$ szorzatot véve a számláló így alakítható:

\begin{matrix} S & = (a^{2} - b^{2}) (a^{3} + b^{3}) + (b^{2} - c^{2}) (b^{3} + c^{3}) = \\ - (c^{5} - a^{5}) + (c^{3} - a^{3}) b^{2} - (c^{2} - a^{2}) b^{3} . \end{matrix}

Itt mind a három zárójeles kifejezés osztható

c - a

-val, tehát

S / N

egyszerűsíthető

c - a

-val.
Egyszerűsítés után az első két tag

S / N

összegének nevezője ugyanaz, mint

K

harmadik tagjáé, tehát közvetlenül összeadhatók. Számlálóik összege így alakítható:

\begin{matrix} - & (c^{4} + c^{3} a + c^{2} a^{2} + c a^{3} + a^{4}) + (c^{2} + c a + a^{2}) b^{2} - (c + a) b^{3} + \\ + & (a + c) (a^{3} + c^{3}) = b^{2} c (a - b) + a b^{2} (a - b) - c^{2} (a^{2} - b^{2}) = \\ = & (a - b) [b^{2} c + a b^{2} - c^{2} (a + b)] = (a - b) [b c (b - c) + a (b^{2} - c^{2})] = \\ = & (a - b) (b - c) (b c + a b + a c), \end{matrix}

ezt osztva a közös nevezővel, a kifejezést

\begin{matrix} K = a b + b c + c a \end{matrix}

alakban írhatjuk, feltéve, hogy

a

b

c

közt nincs két egyenlő érték.

Török Bálint (Budapest, Fazekas M. gyak. g. II. o. t.)

II. megoldás.

K

-t közös nevezőre hozva

S_{1} / N_{1}

alakban írhatjuk, ahol

S_{1} = (a^{2} - b^{2}) (a^{3} + b^{3}) + (b^{2} - c^{2}) (b^{3} + c^{3}) + (c^{2} - a^{2}) (a^{3} + c^{3})

N_{1} = (a - b) (b - c) (c - a) .

S_{1}

-ben

b

helyébe

a

-t helyettesítve azonosan

0

-t kapunk, tehát a számlálónak tényezője

a - b

. Hasonlóan kapjuk, hogy

S_{1}

osztható

b - c

-vel, és

c - a

-val is. Így várható, hogy e három tényező szorzata, azaz

N_{1}

is kiemelhető

S_{1}

-ből, tehát

S_{1} = N_{1} K_{1}

, ahol

K_{1}

szimmetrikus polinom, hiszen

K

is szimmetrikus a változóiban.
Mivel

S_{1}

ben csak ötödfokú tagok szerepelnek,

K_{1}

-ben csak másodfokúak szerepelhetnek,

\begin{matrix} K_{1} = λ (a^{2} + b^{2} + c^{2}) + μ (a b + b c + c a) . \end{matrix}

a^{4} b

együtthatója

S_{1}

-ben

0

N_{1} K_{1}

-ben

- λ

, tehát

λ = 0

;

a^{3} b^{2}

együtthatója

S_{1}

-ben

- 1

N_{1} K_{1}

ben

- μ

, tehát

μ = 1

, így

K_{1} = a b + b c + c a

.
Beszorzással könnyen ellenőrizhető, hogy valóban

N_{1} K_{1} = S_{1}

, tehát

K = K_{1}