Kezdőlap


Feladat:	1012. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Békéssy Péter , Bod Judit
Füzet:	1966/szeptember, 20. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Irracionális számok és tulajdonságaik, Egész együtthatós polinomok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1965/november: 1012. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Mindegyik behelyettesítés könnyebbé válik, ha a polinomot $x - 1$ hatványai szerint rendezzük át, meghatározva az új együtthatókat. A

\begin{matrix} P (x) \equiv Q (x - 1) = {(x - 1)}^{3} + a {(x - 1)}^{2} + b (x - 1) + c \end{matrix}

követelménynek minden

x

-re teljesülnie kell.

x

értékét 1-nek, 0-nak és 2-nek választva egyszerű egyenletrendszert kapunk

a

b

c

-re:

\begin{matrix} x = 1, & P (1) & = Q (0), & - 6 & = c, \\ x = 0, & P (0) & = Q (- 1), & - 1 & = - 1 + a - b + c, \\ x = 2, & P (2) & = Q (1), & - 11 & = 1 + a + b + c, \end{matrix}

innen

c = - 6

a = 0

b = - 6

, tehát

\begin{matrix} P (x) = x^{3} - 3 x^{2} - 3 x - 1 \equiv {(x - 1)}^{3} - 6 (x - 1) - 6. \end{matrix}

Most már

\begin{matrix} P (x_{1}) = P (1 - \sqrt[]{2}) = Q (- \sqrt[]{2}) = - 2 \sqrt[]{2} + 6 \sqrt[]{2} - 6 = 4 \sqrt[]{2} - 6, \\ P (x_{2}) = Q (\sqrt[]{2}) = - 4 \sqrt[]{2} - 6; P (x_{1}) + P (x_{2}) = - 12; \\ P (x_{3}) = Q (- 2 \sqrt[]{2}) - 4 \sqrt[]{2} - 6, P (x_{4}) = Q (2 \sqrt[]{2}) = 4 \sqrt[]{2} - 6, \\ P (x_{3}) + P (x_{4}) = - 12, \end{matrix}

a két összeg valóban egyenlő. ‐ Végül

\begin{matrix} P (x_{5}) = Q (\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4}) = {(\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4})}^{3} - 6 (\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4}) - 6 = \\ 2 + 6 \sqrt[3]{2} + 6 \sqrt[3]{4} + 4 - 6 \sqrt[3]{2} - 6 \sqrt[3]{4} - 6 = 0, \end{matrix}

vagyis a

P (x) = 0

egyenlet egyik gyöke

x_{5}

Békéssy Péter (Budapest, Berzsenyi D. g. I. o. t.)

Megjegyzés. A fenti két összeg egyenlősége bármely a paraméterrel meghatározott

x_{1} = 1 - a

x_{2} = 1 + a

x_{3} = 1 - 2 a

x_{4} = 1 + 2 a

értéknégyes esetében fennáll.
Bod Judit (Budapest, Apáczai Csere J. gyak. g. III. o. t.)