Kezdőlap


Feladat:	1011. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Szűcs András , Tátray Péter
Füzet:	1966/május, 218 - 219. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Valós számok és tulajdonságaik, Kombinatorikai leszámolási problémák, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1965/november: 1011. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Válasszunk $x$ számot pozitívnak, $n - x$ -et negatívnak. Azok a szorzatok lesznek negatívok, amelyekben egyik tényező negatív, a másik pozitív, így ‐ a párbaállítást minden lehetőség szerint elvégezve ‐ számuk:

\begin{matrix} x (n - x) = {(\frac{n}{2})}^{2} - {(\frac{n}{2} - x)}^{2} = {(\frac{n}{2})}^{2} - {(\frac{n - 2 x}{2})}^{2} . \end{matrix}

Az első tag állandó, így a kifejezés értéke akkor a legnagyobb, ha a kivonandó a legkisebb.
Páros

n

esetén

x

-et

n / 2

-nek választva, a kivonandó

0

, vagyis a számok felét választva pozitívnak, felét negatívnak, lesz a legtöbb szorzat negatív.
Páratlan

n

esetén az

n - 2 k

különbség abszolút értékének legkisebb értéke

1

, ezt veszi fel

k = (n - 1) / 2

és

k = (n + 1) / 2

esetén. Eszerint úgy kapunk legtöbb negatív szorzatot, ha a pozitívnak és negatívnak választott számok száma

1

-gyel tér el egymástól.

Tátray Péter (Budapest, Berzsenyi D. Gimn., II. o. t.)

II. megoldás. Mint láttuk,

k

pozitív és

n - k

negatív szám esetén

f (k) = k (n - k)

negatív szorzat keletkezik. Olyan

k_{0}

-t keresünk, amelyre minden

i

és

j

természetes szám esetén (amire

k_{0} - i \geq 0

, ill.

k_{0} + j \leq n

)

\begin{matrix} f (k_{0} - i) \leq f (k_{0}) és f (k_{0} + j) \leq f (k_{0}) . \end{matrix}

Beírva

f (k)

kifejezését és az egyenlőtlenségeket rendezve

\begin{matrix} i (n + i - 2 k_{0}) \geq 0, ill. j (2 k_{0} - n + j) \geq 0 \end{matrix}

adódik, azaz mivel

i

és

j

pozitív,

\begin{matrix} \frac{n + i}{2} \geq k_{0} \geq \frac{n - j}{2} . \end{matrix}

Ez minden

i

j

természetes számra egyedül akkor teljesül, ha páros

n

esetén

k_{0} = n / 2

, páratlan esetén pedig

k_{0} = (n - 1) / 2

vagy

k_{0} = (n + 1) / 2

Szűcs András (Budapest, Fazekas M. gyak. gimn., II. o. t.)