Kezdőlap


Feladat:	1008. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Apor Zsuzsa
Füzet:	1966/május, 217 - 218. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Körülírt kör, Húrnégyszögek, Alakzatok köré írt kör, Gyakorlat, Középponti és kerületi szögek
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1965/október: 1008. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az $O_{1} O_{2} O_{3} Δ$ köré írt kör megszerkesztésében az $A$ , $B$ , $C$ csúcsok szerepe felcserélhető, ezért választhatjuk a betűzést úgy, hogy $B$ az $A C$ szakasz pontja, és $C B O ∢ \leq O B A ∢$ . Megmutatjuk, hogy így az $O_{1} O_{2}$ szakasz $O$ -ból és $O_{3}$ -ból vett látószögeinek összege $180^{\circ}$ , és hogy az $O_{1} O_{2}$ egyenes szétválasztja $O$ -t és $O_{3}$ -at; ebből már következik, hogy $O_{1} O_{3} O_{2} O$ konvex húrnégyszög.
Az $O_{1} O_{3}$ egyenes mindig felező merőlegese az $A O$ szakasznak, mert $A O$ az 1. és 3. kör közös húrja, hasonlóan $O_{2} O_{3}$ merőlegesen felezi $C O$ -t. $C B O ∢ = O B A ∢$ $(= 90^{\circ})$ esetén $O_{1}$ felezi $A O$ -t, $O_{2}$ a $C O$ -t, és $O_{3}$ az $A O C$ szögtartományban van, mert az $A C O Δ$ -ben $A O$ -val és $C O$ -val szemben hegyesszög van, így az $O O_{1} O_{3} O_{2}$ négyszögben $O_{1}$ -nél és $O_{2}$ -nél derékszög van, tehát az állításban szereplő kör az $O O_{3}$ szakasz fölé írt Thalész-kör; az $O_{1} O_{3} O_{2}$ és $O_{1} O O_{2}$ szögek merőleges szárú, egymást $180^{\circ}$ -ra kiegészítő szögek (1. a ábrarész).

1. ábra

Ugyanez az összefüggés a

C B O ∢ < O B A ∢

esetben is fennáll az

O_{1} O_{3} O_{2}

és

D O F = A O C

szögek között (1. b ábrarész). Így ugyanis

O_{2}

és

O_{3}

O C

egyenesnek

A

-t és

B

-t tartalmazó pontján van, mert

O B C

, ill.

O A C

hegyesszög, éspedig

O_{3}

távolabb van

O C

-től, mint

O_{2}

, mert

O A C ∢ = O B C ∢ - B O A ∢ < O B C ∢

, tehát az

O_{3} O_{2}

félegyenes most is

O C

-nek

F

felezőpontja felé halad. Másrészt

O_{1}

O A

-nak

B

-t nem tartalmazó partján van, és az

O_{3} O_{1}

félegyenes

O A

-nak

D

felezőpontja felé irányul vagy része a

D O_{1}

félegyenesnek aszerint, hogy az

O C B ∢ \leq 90^{\circ}

, ill.

O C B ∢ > 90^{\circ}

, mert

C

kívül van az

A O B Δ

köré írt körön, és ezért

O_{1} C > O_{3} C

. Ezek szerint

O

és

O_{1}

O_{2} O_{3}

egyenes ugyanazon oldalán vannak, és

O

O_{1} O_{3} O_{2}

szögtartomány pontja, amint állítottuk. Így már elég lesz azt belátnunk, hogy az

O_{1} O_{3} O_{2}

szöget

180^{\circ}

-ra kiegészítő

A O C

szög egyenlő az

O_{1} O O_{2}

szöggel.
Ez abból adódik, hogy

O O_{1}

ugyanannyival van elfordulva

O A

-tól, mint

O O_{2}

O C

-től, és a két forgás iránya mindkét esetben az, ami az

O C

félegyenest

O B

-n át

O A

-ba viszi. Ez

O_{2}

-nek és

O_{1}

-nek már kimondott helyzetéből adódik. Valóban,

\begin{matrix} A O O_{1} ∢ & = \frac{180^{\circ} - A O_{1} O ∢}{2} = \frac{360^{\circ} - A O_{1} O ∢}{2} - 90^{\circ} = A B O ∢ - 90^{\circ} = \\ = 90^{\circ} - O B C ∢ = \frac{180^{\circ} - O O_{2} C ∢}{2} = C O O_{2} ∢ . \end{matrix}

Ezzel a bizonyítást befejeztük.

Apor Zsuzsa (Esztergom, Bottyán J. gépip. t. II. o. t.)