Feladat: 1007. matematika gyakorlat Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):  Aczél Klára ,  Balázs Dénes 
Füzet: 1966/szeptember, 18. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Terület, felszín, Paralelogrammák, Alakzatok köré írt kör, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1965/október: 1007. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha valamelyik háromszögről megmutatjuk, hogy területe a másik három háromszög területének összegével egyenlő, ezzel azt is megmutattuk, hogy ez a legnagyobb területű.

 
 

Legyen a körön választott P pont a négyzet AB oldala fölötti negyedkörön; a négyzet további csúcsai legyenek C és D. Toljuk el az ABP háromszöget úgy, hogy az AB oldal DC-re kerüljön, P új helyzete P1 legyen. Ekkor ‐ a háromszögek területeit ugyanúgy jelölve, mint a háromszöget ‐ nyilván P1DC=PAB, továbbá az egy-egy átlójukkal kettévágott ADP1P és BCP1P paralelogrammából DP1P=PAD és CP1P=PBC. Így
DCP=P1DC+CP1P+DP1P=PAB+PAD+PBC.

Ezzel a feladat állítását bebizonyítottuk, sőt annál jóval többet is, hiszen a bizonyításban csak annyit használtunk ki, hogy ABCD paralelogramma (még azt sem, hogy szögei derékszögek), továbbá hogy P az AB oldal és a DA, CB oldalak meghosszabbítása határolta tartományban (sávban) van. (Az ábrán egyszer vonalkázva.) A betűk megfelelő cseréjével alkalmazható a bizonyítás az ábra kétszer vonalkázott sávjaira is. Ha a pont határvonalon van, egy vagy két háromszög egyenesszakasszá fajul, területéül 0 veendő.
 
Balázs Dénes (Győr, Kazinczy F. g. II. o. t.)
Aczél Klára (Budapest, Fazekas M. gyak. g. I. o. t.)