Kezdőlap


Feladat:	1003. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Szentgáli Adám , Varga Gabriella
Füzet:	1966/március, 123. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szorzat, hatvány számjegyei, Teljes indukció módszere, Gyakorlat, Tizes alapú számrendszer
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1965/október: 1003. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A $k$ számú 1-essel leírt számot $A$ -val jelölve $E$ -t úgy kapjuk, hogy $A$ után ismét leírjuk $A$ -t. A második leírás folytán az első leírás minden jegyének a helyi értéke $10^{k}$ -szor nagyobbá válik, így $E = A \cdot 10^{k} + A$ . Másrészt $F = 2 A$ , így $E - F = A (10^{k} + 1 - 2) = A (10^{k} - 1)$ .
Jegyeit kiírva $10^{k}$ -ban egy 1-es után $k$ számú 0 áll, ezért az 1-gyel kisebb szám minden jegye 9-es, jegyeinek száma $k$ , tehát

\begin{matrix} E - F = A (10^{k} - 1) = A \cdot 9 A = 9 A^{2}, \end{matrix}

ennélfogva a keresett négyzetgyök

3 A

, vagyis a

k

számú 3-assal leírt szám.

Varga Gabriella (Szombathely, Savaria g. III. o. t.)

II. megoldás.

k = 1

, 2, 3 esetén

E - F

a 3, 33, ill. 333 négyzete. Teljes indukcióval bebizonyítjuk, hogy minden pozitív egész

k

szám esetén a feladatban szereplő

E = E_{k}

és

F = F_{k}

számok különbségének négyzetgyöke a

k

számú 3-assal leírt

G_{k}

szám.

G_{k}

nyilvánvalóan

1 / 3

része a

k

számú 9-essel írt számnak, ami viszont 1-gyel kisebb

10^{k}

-nál, eszerint a következő sejtést akarjuk bizonyítani:

\begin{matrix} \sqrt[]{E_{k} - F_{k}} = G_{k} = \frac{10^{k} - 1}{3} . \end{matrix}

(1)

Feltesszük, hogy (1) igaz valamely

n

pozitív egész számra.

E_{n + 1}

-et úgy kapjuk

E_{n}

-ből, hogy utána írunk két 1-est, ezáltal az eddigi jegyek helyi értéke 100-szor nagyobb:

E_{n + 1} = 100 \cdot E_{n} + 11

, és hasonlóan

F_{n + 1} = 10 \cdot F_{n} + 2

. Mivel még

F_{n}

G_{n}

-nek

2 / 3

része, azért (1) felhasználásával

\begin{matrix} E_{n + 1} & - F_{n + 1} = 100 E_{n} - 10 F_{n} + 9 = 100 (G_{n}^{2} + F_{n}) - 10 F_{n} + 9 = \\ = 100 G_{n}^{2} + 90 F_{n} + 9 = 100 G_{n}^{2} + 60 G_{n} + 9 = {(10 G_{n} + 3)}^{2} = G_{n + 1}^{2}, \end{matrix}

vagyis (1) valóban igaz a következő

n + 1

egész számra is.

Szentgáli Ádám (Budapest, Ady E. g. III. o. t.)