Feladat: 1001. matematika gyakorlat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Takács László 
Füzet: 1966/április, 170 - 171. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Kör (és részhalmaza), mint mértani hely, Gyakorlat, Középponti és kerületi szögek
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1965/szeptember: 1001. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. A stoppermutató nagyított másodpercmutató, így a két mutató bármely időköz alatt ugyanakkora szöggel fordul el. Elég együttes mozgásuk első 30 mp-nyi időközét vizsgálnunk, ennek végére a mutatók egyenesei 180∘-ot fordulnak, és a mozgás megismétlődik.

 
 

Legyen az s stoppermutató tengelye Os, az m másodpercmutatóé Om, a szokásos tartásban Os az Om fölött van. Az időt a stopperen mérjük, m a 10 mp-től 40 mp-ig terjedő helyzeteken halad át. s indításakor egyenese átmegy Om-en, 20 mp múlva pedig m egyenese Os-en. E két helyzet között az M metszéspont az óraszámlap bal oldali félkörén jön létre. Legyen s elfordulása a kiinduló helyzettől, az OmOs egyenestől α(<120∘), ez az OsOmM△ Os-nél levő szöge. Ekkor m elfordulása 60∘-kal több, mert s indulása előtt 60∘-ot fordult a 10 mp-es osztásvonalig, tehát a háromszög Om-nél levő külső szöge α+60∘. Így az M-nél levő OmMOs szög a külső szög tétele szerint 60∘. Eszerint az OmOs szakasz M-ből állandó szögben látható, tehát M a szakasz 60∘-os nyílású látószögkörívén van. Az ív K középpontjában OmKOs∢=2⋅60∘=120∘.
A 20 mp-től 30 mp-ig tartó időközben 120∘<α<180∘, M a számlap jobb félkörén adódik, és így α a háromszög Os-nél levő külső szöge. Az OsOmM belső szög 180∘-kal kisebb az α+60∘-nál, vagyis α-120∘. Így pedig OmMOs∢=120∘, állandó, M az OmOs szakasz 120∘ nyílású látószögkörívén van.
E körív K' középpontja egybeesik K-val. Ugyanis az ívet (teljes körré) kiegészítő ívhez K'-ben 2⋅120∘=240∘-os középponti szög tartozik, tehát K' a számlap bal félkörén van, és OmK'Os∢=120∘, végül a középpont az OmOs húrral egyenlő szárú háromszöget alkot, így K' valóban azonos K-val. Eszerint M mindig a K közepű KOs sugarú körön van.
II. Ha s-et m más, mondjuk a T mp-hoz tartozó helyzetében indítjuk, ahol 0<T<30, akkor a fenti gondolatmenetben 60∘ helyére 6T foknyi szög lép. K a számlap bal, ill. jobb oldali félkörén adódik aszerint, hogy T kisebb 15-nél, vagy nagyobb nála, T=15 esetén pedig az OmOs szakasz felezőpontjában. Ekkor ugyanis a mutatók szöge mindig derékszög, a szakasz Thalész-körét kapjuk. Végül ha T=0, vagy T=30, akkor M nem jön létre, mert s és m párhuzamosak, amikor pedig az OmOs egyenesen haladnak át, minden pontjuk közös.
 
Takács László (Sopron, Széchenyi I. g. II. o. t.)