Feladat: 1000. matematika gyakorlat Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Andor Cs. ,  Békéssy P. ,  Bergács J. ,  Bertsekár Gy. ,  Détári Gy. ,  Dévényi K. ,  Dobozy O. ,  Faragó Péter ,  Faragó T. ,  Fülöp G. ,  Földes I. ,  Gallatz I. ,  Gegesy F. ,  Geier J. ,  Hegedűs A. ,  Kele A. ,  Klauber A. ,  Kovács M. ,  Moson P. ,  Nádai L. ,  Nikodémusz Anna ,  Orbán G. ,  Pap Márta ,  Perémy G. ,  Semsey A. ,  Süttő Klára ,  Szombathelyi Sz. ,  Sztrinkay L. ,  Szűcs András ,  Tamási P. ,  Tóth Dénes ,  Vályi A. ,  Végh Gy. ,  Vetier A. ,  Wels I. 
Füzet: 1966/január, 11 - 12. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Eltolás, Ponthalmazok, Egyenes, Síkgeometriai szerkesztések, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1965/szeptember: 1000. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Olyan d átmérőjű kört kapunk, amely az egyenesek egyikéből, e-ből, b hosszúságú húrt zár magába, ha e-n tetszés szerint felvett b hosszúságú szakasz mint alap fölé d felével mint szárral egyenlő szárú háromszöget szerkesztünk, majd ennek b-vel szemben levő csúcsa körül d/2 sugárral kört írunk. A háromszöget e bármelyik partján szerkeszthetjük.

 
 

A háromszög b-re merőleges mb magassága, vagyis a kör középpontjának e-től való távolsága független attól, hol vettük fel e-n a b hosszúságú szakaszt. Eszerint b-t az e-n végig tolva a középpont csak az e-től mb távolságban a két oldalán haladó e1 és e2 párhuzamos egyeneseken lehet.
Hasonlóan kapjuk a másik egyenesből, f-ből és a c szakaszból kiindulva, hogy c<d esetén az f-ből c hosszúságú húrt tartalmazó, d átmérőjű körök középpontjai csak az f két oldalán, tőle egyenlő távolságban haladó f1, f2 párhuzamos egyeneseken lehetnek, a távolság a c alapú és d/2 szárral bíró egyenlő szárú háromszögnek c-re merőleges mc magassága. c=d esetén pedig csak magán f-en lehet a középpont, mert egy kör csak a középpontján átmenő egyenesekből zár magába az átmérőjével egyenlő hosszú szakaszt.
Ezek szerint mindhárom követelményt csak azok a d átmérőjű körök elégíthetik ki, amelyek középpontja rajta van az e1, e2 egyenespár egyikén is és az f1, f2 egyenespár egyikén is (ill. c=d esetén az f egyenesen), vagyis a két párhuzamos egyenespár metszéspontjaiban. Nyilvánvaló, hogy ezek a körök meg is felelnek.
A megoldások száma 4, ill. c=d esetén 2. Ha az e-ből kimetszett szakasz hosszát vesszük c-nek és az f-ből kimetszettét b-nek, újabb 4, ill. 2 megoldást kapunk, és ezek az előbbiektől különbözők, mert b és c különbözők. Az újabb megoldásokat megkaphatjuk az előbbieknek e és f valamelyik szögfelezőjén való tükrözésével is.
 
Faragó Péter (Szeged, Radnóti M. g. I. o. t.)

 
Megjegyzés. A mértani hely fogalmának felhasználásával azt is mondhatjuk, hogy a keresett középpont mértani helye a d átmérő és a b szakasz követelményének figyelembevételével az e1, e2 egyenespár, d és a c szakasz figyelembevételével az f1, f2 egyenespár, ill. maga f.
 
Szűcs András (Budapest, Fazekas M. gyak g. II. o. t.)