Kezdőlap


Feladat:	997. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Döme Éva
Füzet:	1966/április, 169 - 170. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Nevező gyöktelenítése, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1965/szeptember: 997. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Bővítsük (1)-et a számlálójával, majd az egyszerűsítés után kapott kifejezést $\sqrt[]{a} + \sqrt[]{a - b}$ -vel.

\begin{matrix} K = \frac{2 a + 2 \sqrt[]{a b} - 2 \sqrt[]{a (a - b)} - 2 \sqrt[]{b (a - b)}}{2 b + 2 \sqrt[]{a b}} = \\ = \frac{(\sqrt[]{a} + \sqrt[]{b}) (\sqrt[]{a} - \sqrt[]{a - b})}{\sqrt[]{b} (\sqrt[]{a} + \sqrt[]{b})} = \frac{\sqrt[]{a} - \sqrt[]{a - b}}{\sqrt[]{b}} = \frac{\sqrt[]{b}}{\sqrt[]{a} + \sqrt[]{a - b}} . \end{matrix}

II. Jelöljük az

L

számlálójában álló négyzetgyököket rendre

A

B

C

D

-vel, írjuk a számlálót két különbség különbségeként, és alakítsuk át ennek és a két különbség szorzatának hányadosát, a hányados két tagját külön-külön gyöktelenítve:

\begin{matrix} \frac{(A - B) - (C - D)}{(A - B) (C - D)} = \frac{1}{C - D} - \frac{1}{A - B} = (C + D) - (A + B) . \end{matrix}

Az utolsó lépésben felhasználtuk, hogy a nevezők értéke

C^{2} - D^{2} = A^{2} - B^{2} = 1

. A talált hányados egyenlő

L

nevezőjével, eszerint

\begin{matrix} L = (A - B) (C - D) = (\sqrt[]{a} - \sqrt[]{a - 1}) (\sqrt[]{a^{2} - a} - \sqrt[]{a^{2} - a - 1}) . \end{matrix}

(Feltesszük persze, hogy egyik négyzetgyök alatt sincs negatív szám, vagyis

a^{2} - a - 1 = {(a - 0, 5)}^{2} - 1, 25 \geq 0

, amikor

a - 1 \geq 0

is teljesül.
III.

L

-nek

a = 3

esetén adódó értéke

3

értékes számjegyre számítva

\begin{matrix} (\sqrt[]{3} - \sqrt[]{2}) (\sqrt[]{6} - \sqrt[]{5}) = \sqrt[]{18} + \sqrt[]{10} - \sqrt[]{15} - \sqrt[]{12} \approx + 0, 0678. \end{matrix}

Ez ugyanis a 957. gyakorlatban^{$^{*}$} kiszámított

x

-nek a negatívja.

a = 4

esetén

L

első értékes számjegyének helyi értéke

0, 01

, ugyanis az iskolai négyjegyű függvénytáblázat

3

tizedes jegyre kerekített adataival

\begin{matrix} L = (2 - \sqrt[]{3}) (\sqrt[]{12} - \sqrt[]{11}) = \sqrt[]{48} - \sqrt[]{44} - 6 + \sqrt[]{33} \approx \\ \approx 6, 928 - 6, 633 - 6 + 5, 745 = 0, 040, \end{matrix}

és mivel egyik kerekítés hibája sem nagyobb

0, 0005

-nél, és a három kerekítés együttes hibája

0, 0015

-nél, azért

0, 0385 < L < 0, 0415

. Így

L

értékét

4

tizedesre kerekítve kell megadnunk. A számláló gyöktelenítésével

\begin{matrix} L = \frac{1}{2 + \sqrt[]{3}} \cdot \frac{1}{\sqrt[]{12} + \sqrt[]{11}} = \frac{1}{\sqrt[]{48} + \sqrt[]{44} + 6 + \sqrt[]{33}} \approx \frac{1}{25, 306} . \end{matrix}

A kerekítési hiba iménti felső korlátjait ismét figyelembe véve

L

értéke

25, 3075

és

25, 3045

reciproka közé esik. Az előbbit, ami alsó korlát, lefelé, az utóbbit pedig fölfelé kerekítve

0, 03951 < L < 0, 03952

, így a kívánt érték

0, 0395

(lefelé kerekítve).

Döme Éva (Makó, József A. g. II. o. t.)

^{$^{*}$}K. M. L. 31 (1965) 121. o.