Kezdőlap


Feladat:	996. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Berács József
Füzet:	1966/április, 168 - 169. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1965/szeptember: 996. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Természetesen feltesszük, hogy a kifejezéseknek van értelmük, az előfordult nevezők egyike sem $0$ .
I. Az (1) és (2) kifejezéseket közös nevezőre hozva és összeadva számlálójuk megegyezik:

\begin{matrix} S = a b p + a c n + b c m + m n p . \end{matrix}

Egy tört csak akkor

0

, ha a számlálója

0

, így (1) miatt

S = 0

. De akkor (2) értéke is

0

, mert

0

-t bármivel osztva

0

-t kapunk.
II.

S

mindkét kifejezésből úgy állt elő, hogy véve két számot (betűt), megszoroztuk őket egy-egy olyan kéttagú összeggel, melynek tagjai kéttényezős szorzatok, majd e két újabb szorzatot összeadtuk. A

c

és

p

tényezők kiemelésével

S

egy harmadik módon is alakítható a mondott szerkezetű kifejezéssé:

\begin{matrix} S = c (a n + m b) + p (a b + m n) . \end{matrix}

Ennek alapján két, a feltételeknek megfelelő kifejezést írhatunk fel.

S

-et először az

(a n + m b) \cdot p

szorzattal osztjuk, másodszor pedig az előbb nem használt tényezőkből alakított szorzattal:

\begin{matrix} \frac{S}{(a n + m b) p} = \frac{c (a n + m b)}{(a n + m b) p} + \frac{p (a b + m n)}{(a n + m b) p} = \frac{c}{p} + \frac{a b + m n}{a n + m b}, & (3) \\ \frac{S}{c (a b + m n)} = \frac{p}{c} + \frac{a n + m b}{a b + m n} & (4) \end{matrix}

(a második esetben a két tagot felcserélve írtuk fel). Mindkét új kifejezés értéke eredeti alakjuk miatt

0

, és mindkettő (1)-hez és (2)-höz hasonló szerkezetű.
A két új kifejezés tagjai egymásnak rendre reciprokai. Hasonlóan kapunk (1)-ből is, (2)-ből is egy-egy újabb, a feltételeknek megfelelő kifejezést, ha tagjaik helyére reciprokukat írjuk:

\begin{matrix} \frac{m}{a} + \frac{b p + n c}{b c + n p}, & (5) \\ \frac{n}{b} + \frac{c m + p a}{c a + p m} . & (6) \end{matrix}

Berács József (Győr, Benedek-rendi Czuczor G. g. II. o. t.)

Megjegyzés. A feladat szándékosan nem írta le pontosan, mit értsünk ,,az adottakhoz hasonló szerkezetű'' kifejezésen. A dolgozatokban előfordultak más értelmezések is, ezeket a Szerkesztő Bizottság legtöbbször elfogadta.