Feladat: 993. matematika gyakorlat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Babai L. ,  Balázs Katalin ,  Bozóky-Szeszich Á. ,  Eszes G. ,  Faragó T. ,  Gáspár A. ,  Grósz T. ,  Havas J. ,  Kádas S. ,  Kloknicer I. ,  Kóczy L. ,  Kovács M. ,  Kuluncsich T. ,  Langer T. ,  Losonci Zoltán ,  Major P. ,  Márkus A. ,  Mérő L. ,  Michaletzky Gy. ,  Mitrocsák Anikó ,  Moson P. ,  Palla L. ,  Semsey A. ,  Somos A. ,  Szentgáli Á. ,  Szeredi P. ,  Szilágyi I. ,  Szűcs A. ,  Takács L. ,  Tátray P. ,  Tolnay-Knefély T. ,  Újvári István ,  Vizvári B. ,  Wittmann R. 
Füzet: 1966/május, 215 - 216. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Síkidomok átdarabolása, Sokszögek szimmetriái, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1965/május: 993. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Figyeljük meg, hogy a nagy szabályos ötszög minden belső osztóvonala párhuzamos az ötszög egy oldalával. Ebből következik ‐ figyelembe véve, hogy a szabályos ötszög mindegyik szöge 108∘ ‐, hogy az A és C jelű háromszögek szögei 72∘, 72∘, 36∘, a B és D jelűeké 36∘, 36∘, 108∘, vagyis mindegyik háromszög egyenlő szárú, és a 3 kis ötszögben minden szög 108∘. Továbbá, hogy a fölső és a jobb alsó B háromszög egyik-egyik szára az ötszög egyik átlójára esik (az ábra pontozott vonala, ez nem osztóvonal !), ez az átló a jobb felső kis ötszögből egy a D-höz hasonló háromszöget vág le, a maradó négyszög szimmetrikus trapéz, és ezért a mondott B háromszögek egybevágók.

 
 

Azt is látjuk, hogy ‐ a fölső A, B, háromszög-párt figyelmen kívül hagyva ‐ az osztóvonalak hálózata szimmetrikus az eredeti ötszög függőleges tengelyére, továbbá, hogy a két fölső kis ötszögnek is van függőleges szimmetriatengelye. Ezekből és a háromszögek egyenlő szárú voltából lépésről lépésre következik, hogy a 3 kis ötszög összes oldalai egyenlők, így ezek is szabályos ötszögek, az ugyanolyan jelű háromszögek egybevágók, továbbá az A és D jelű háromszögek alapja, valamint a B és C jelű háromszögek szára egyenlő a kis ötszögek oldalával, végül (az A, B háromszögpárból az), hogy A szára egyenlő B alapjával.
Ezekből adódik, hogy a különálló kis ötszögek közül a B-, A-, B- háromszögekből összeállítottban minden szög egyenlő, és minden oldal is egyenlő, tehát ez is szabályos ötszög.
Már csak azt kell belátnunk a különálló alsó ötszög céljára, hogy egy C és egy D háromszöggel hiánytalanul és átfedés nélkül lefedhető a B háromszög, az A háromszög pedig két C-vel és egy D-vel, más szóval, hogy a C- és D háromszög szárainak összege is és alapjaik összege is egyenlő a B háromszög alapjával. Az első egyenlőség abból adódik, hogy a főábra jobb alsó B háromszöge 108∘-os szögének csúcsán áthúzott vízszintes egyenes (az ábrán pontozva) a háromszöget nyilvánvalóan egy C és egy D háromszögre vágja szét; a második pedig abból, hogy a főábrán A vízszintes helyzetű szára egyenlő C alapjának és a kis ötszög oldalának ‐ vagyis D alapjának ‐ összegével. Ezzel a szemléletre támaszkodó sejtést a kimondott megfigyelések felhasználásával bebizonyítottuk.
 
 Losonci Zoltán (Szeged, Vedres I. ép. ip. t. II. o. t.)
 

Megjegyzések. 1. A kis és a nagy ötszög hasonló, területük aránya a fentiek szerint 1:5, így oldalaik aránya 1:5. Valóban, a nagy ötszög oldalát véve egységnek a fölső csúcsból jobbra lefutó átló hossza a feladat közlése szerint (5+1)/2, másrészt ez az átló egyenlő a kis ötszög x oldala 2-szeresének és átlójának összegével:
x(1+5+12+1)=x5+52=5+12,
amiből x=1/5.
2. Adott szabályos ötszögbe a feldaraboló hálózat az alábbiak szerint szerkeszthető bele, pusztán a szokásos háromszög vonalzópár használatával. Az ötszög bármelyik 2 szimmetriatengelyének metszéspontja megadja a 3 kis ötszög közös csúcsát (ugyanis a két D háromszög tengelyére mind a hozzájuk csatlakozó kis ötszög, mind a nagy ötszög tükrös), a tengelyek a derékszög vonalzó 90∘-os átbillentésével rajzolhatók. A közös csúcsból kiinduló 4 félegyenest párhuzamos csúsztatással rajzoljuk meg, a rajtuk levő további csúcsot a nagy ötszögnek a felső csúcsból induló átlói metszik ki; ezután már csak párhuzamosok rajzolása van hátra.
A közös csúcsból húzott 4 félegyenes visszafelé való meghosszabbításai a nagy ötszög kerületéből 4 további csúcspontot közvetlenül is kimetszenek. A kerületen lévő további két csúcspont a középponton átmenő vízszintessel is kimetszhető.