|
Feladat: |
993. matematika gyakorlat |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Babai L. , Balázs Katalin , Bozóky-Szeszich Á. , Eszes G. , Faragó T. , Gáspár A. , Grósz T. , Havas J. , Kádas S. , Kloknicer I. , Kóczy L. , Kovács M. , Kuluncsich T. , Langer T. , Losonci Zoltán , Major P. , Márkus A. , Mérő L. , Michaletzky Gy. , Mitrocsák Anikó , Moson P. , Palla L. , Semsey A. , Somos A. , Szentgáli Á. , Szeredi P. , Szilágyi I. , Szűcs A. , Takács L. , Tátray P. , Tolnay-Knefély T. , Újvári István , Vizvári B. , Wittmann R. |
Füzet: |
1966/május,
215 - 216. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Síkidomok átdarabolása, Sokszögek szimmetriái, Gyakorlat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1965/május: 993. matematika gyakorlat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Figyeljük meg, hogy a nagy szabályos ötszög minden belső osztóvonala párhuzamos az ötszög egy oldalával. Ebből következik ‐ figyelembe véve, hogy a szabályos ötszög mindegyik szöge ‐, hogy az és jelű háromszögek szögei , , , a és jelűeké , , , vagyis mindegyik háromszög egyenlő szárú, és a kis ötszögben minden szög . Továbbá, hogy a fölső és a jobb alsó háromszög egyik-egyik szára az ötszög egyik átlójára esik (az ábra pontozott vonala, ez nem osztóvonal !), ez az átló a jobb felső kis ötszögből egy a -höz hasonló háromszöget vág le, a maradó négyszög szimmetrikus trapéz, és ezért a mondott háromszögek egybevágók. Azt is látjuk, hogy ‐ a fölső , , háromszög-párt figyelmen kívül hagyva ‐ az osztóvonalak hálózata szimmetrikus az eredeti ötszög függőleges tengelyére, továbbá, hogy a két fölső kis ötszögnek is van függőleges szimmetriatengelye. Ezekből és a háromszögek egyenlő szárú voltából lépésről lépésre következik, hogy a kis ötszög összes oldalai egyenlők, így ezek is szabályos ötszögek, az ugyanolyan jelű háromszögek egybevágók, továbbá az és jelű háromszögek alapja, valamint a és jelű háromszögek szára egyenlő a kis ötszögek oldalával, végül (az , háromszögpárból az), hogy szára egyenlő alapjával. Ezekből adódik, hogy a különálló kis ötszögek közül a -, -, - háromszögekből összeállítottban minden szög egyenlő, és minden oldal is egyenlő, tehát ez is szabályos ötszög. Már csak azt kell belátnunk a különálló alsó ötszög céljára, hogy egy és egy háromszöggel hiánytalanul és átfedés nélkül lefedhető a háromszög, az háromszög pedig két -vel és egy -vel, más szóval, hogy a - és háromszög szárainak összege is és alapjaik összege is egyenlő a háromszög alapjával. Az első egyenlőség abból adódik, hogy a főábra jobb alsó háromszöge -os szögének csúcsán áthúzott vízszintes egyenes (az ábrán pontozva) a háromszöget nyilvánvalóan egy és egy háromszögre vágja szét; a második pedig abból, hogy a főábrán vízszintes helyzetű szára egyenlő alapjának és a kis ötszög oldalának ‐ vagyis alapjának ‐ összegével. Ezzel a szemléletre támaszkodó sejtést a kimondott megfigyelések felhasználásával bebizonyítottuk.
Losonci Zoltán (Szeged, Vedres I. ép. ip. t. II. o. t.) Megjegyzések. 1. A kis és a nagy ötszög hasonló, területük aránya a fentiek szerint , így oldalaik aránya . Valóban, a nagy ötszög oldalát véve egységnek a fölső csúcsból jobbra lefutó átló hossza a feladat közlése szerint , másrészt ez az átló egyenlő a kis ötszög oldala -szeresének és átlójának összegével: amiből . 2. Adott szabályos ötszögbe a feldaraboló hálózat az alábbiak szerint szerkeszthető bele, pusztán a szokásos háromszög vonalzópár használatával. Az ötszög bármelyik szimmetriatengelyének metszéspontja megadja a kis ötszög közös csúcsát (ugyanis a két háromszög tengelyére mind a hozzájuk csatlakozó kis ötszög, mind a nagy ötszög tükrös), a tengelyek a derékszög vonalzó -os átbillentésével rajzolhatók. A közös csúcsból kiinduló félegyenest párhuzamos csúsztatással rajzoljuk meg, a rajtuk levő további csúcsot a nagy ötszögnek a felső csúcsból induló átlói metszik ki; ezután már csak párhuzamosok rajzolása van hátra. A közös csúcsból húzott félegyenes visszafelé való meghosszabbításai a nagy ötszög kerületéből további csúcspontot közvetlenül is kimetszenek. A kerületen lévő további két csúcspont a középponton átmenő vízszintessel is kimetszhető. |
|