I. Legyenek az eredeti $T$-lemez oldalai $a$ és $b$, ahol $a\le b$. Ekkor a belőle egy darabban kivágható legnagyobb körlemez átmérője nyilvánvalóan $a$. Ilyenből 2 db is kivágható, ha $b\ge 2a$ (1. a ábra), különben azonban nem.
Az $a\le b<2a$ esetben az 1. b ábra szerinti elhelyezésben kapjuk a legnagyobb körlemez-párt. Ugyanis az 1. c ábra szerinti elrendezésben (ahol $2r\text{'}=b/2<a$) $k_2$ áttolható a $k{\text{'}}_2$ helyzetbe, ekkor $k{\text{'}}_2$ nem érinti $k_1$-et, így a sugarak még növelhetők.

 

1. ábra

a-2r(>0) és $b-2r$, ennélfogva
${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle {\left(a-2r\right)}^2+{\left(b-2r\right)}^2={\left(2r\right)}^2\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle 4r^2-4\left(a+b\right)r+\left(a^2+b^2\right)=\mathrm{0,}}\hfill & \text{(<mn>1</mn>)}\end{array}}$

és így a legnagyobb körlemez-pár átmérője

$\begin{array}{c}{\displaystyle 2r=a+b-\sqrt[]{2ab}\mathrm{.}}\end{array}$

A négyzetgyököt $+$ jellel véve $2r>a$, ami nem felel meg, egyébként a gyökök nyilvánvalóan valósak.

 

 

2. ábra

 

II. Hasonlóan adódik, hogy $b\ge 3a$ esetén lehet $T$-ből kivágni $3$ db $a$ átmérőjű körlemezt, valamint hogy $b<3a$ esetén a 2. b ábra szerinti elrendezésben nagyobb átmérőjű körlemezek várhatók, mint $b/3<a$. Mondhatjuk, hogy a 2. b ábrán két egyenlő sugarú kör van kivágva a $b\text{'}=r+b/2$ alapú, $a$ magasságú téglalapból, így az $r$-et megadó egyenlet (1)-ből adódik, $b$ helyére $b\text{'}$-t írva:

${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle r^2-\left(4a+b\right)r+\left(a^2+b^2/4\right)=\mathrm{0,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle r=2a+b/2-\sqrt[]{3a^2+2ab}\mathrm{.}}\hfill & \text{(<mn>2</mn>)}\end{array}}$

A négyzetgyökjel előtt $+$ jelet véve a másik gyök $r>2a$, pozitív, ezért a felírt $r$ is pozitív, hiszen szorzatuk, az egyenlet $r$-et nem tartalmazó tagja, pozitív. Egyébként a gyökök nyilvánvalóan valósak.
Állandó $a$ és egyre rövidülő $b$ esetén az alapon levő két kör mindaddig nem nyúlik egymásba, amíg $b-4r\ge 0$. Ennek feltétele (2) alapján
${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle 4\sqrt[]{3a^2+2ab}\ge 8a+b\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle 48a^2+32ab\ge 64a^2+16ab+b^2\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle {\left(\frac{b}{a}\right)}^2-16\left(\frac{b}{a}\right)+16\le \mathrm{0,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle 8-4\sqrt[]{3}\le \frac{b}{a}\le 8+4\sqrt[]{3}\mathrm{,}}\hfill \end{array}}$

ill. a korábbi $b/a<3$ korlátozást is figyelembe véve

$\begin{array}{c}{\displaystyle \left(1\mathrm{,}072\approx \right)8-4\sqrt[]{3}\le b/a<3.}\end{array}$

A hátra levő $1\le b/a<8-4\sqrt[]{3}\left(\approx 1\mathrm{,}072\right)$ esetben mindhárom kör páronként érinti egymást, viszont a $k_3$ kör már csak az $a$ hosszúságú oldalt érinti. A 2. c ábra jelöléseivel

$\begin{array}{c}{\displaystyle r+EF+G{O}_2+r=a\mathrm{,}r+O_{1}D+r=b\mathrm{,}}\end{array}$

és felhasználva az $O_{2}FG$, $O_1{O}_{3}D$ és $O_{1}FE$ háromszögek hasonlóságát, az átfogók $O_{2}F:O_1{O}_3:O_{1}F=\sqrt[]{3}:2:1$ arányát:
${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle 2r+x+\sqrt[]{3}\cdot \sqrt[]{r^2-x^2}=a\mathrm{,}}\hfill & \text{(<mn>3</mn>)}\\ \hfill {\displaystyle 2r+2\sqrt[]{r^2-x^2}=b\mathrm{.}}\hfill & \text{(<mn>4</mn>)}\end{array}}$

A négyzetgyököt (4)-ből kifejezve és (3)-ba helyettesítve

$\begin{array}{c}{\displaystyle x=a-2r-\sqrt[]{3}\left(\frac{b}{2}-r\right)=a-\frac{\sqrt[]{3}}{2}b-\left(2-\sqrt[]{3}\right)r\mathrm{,}}\end{array}$

majd ezt a (4)-ből rendezéssel és négyzetre emeléssel adódó egyenletbe beírva újabb rendezés után
${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle r^2-x^2=r^2-{\left(a-\frac{\sqrt[]{3}}{2}b\right)}^2+\left(2a-\sqrt[]{3}b\right)\left(2-\sqrt[]{3}\right)r-{\left(2-\sqrt[]{3}\right)}^2{r}^2=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle ={\left(\frac{b}{2}-r\right)}^2=\frac{b^2}{4}-br+r^2\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle {\left(2-\sqrt[]{3}\right)}^2{r}^2-2\left(2-\sqrt[]{3}\right)\left(a+b\right)r+\left(a^2-\sqrt[]{3}ab+b^2\right)=0.}\hfill \end{array}}$

A diszkrimináns, végül a körök sugara
${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle 4{\left(2-\sqrt[]{3}\right)}^2{\left(a+b\right)}^2-4{\left(2-\sqrt[]{3}\right)}^2\left(a^2-\sqrt[]{3}ab+b^2\right)=4{\left(2-\sqrt[]{3}\right)}^{3}ab\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle r=\left(2+\sqrt[]{3}\right)\left(a+b-\sqrt[]{\left(2+\sqrt[]{3}\right)ab}\right)\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$


Speciálisan, $a=b$ esetén, figyelembe véve, hogy
${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle 2+\sqrt[]{3}={\left(\sqrt[]{3}+1\right)}^2/\mathrm{2,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle 2r=\left(2+\sqrt[]{3}\right)\left(4-\sqrt[]{6}-\sqrt[]{2}\right)a\approx 0\mathrm{,}509a\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$