|
Feladat: |
989. matematika gyakorlat |
Korcsoport: 14-15 |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Babai L. , Bárdos J. , Bozóky Szeszich Á. , Dobozy O. , Döme Éva , Eff L. , Élthes Eszter , Eszes G. , Faragó Tibor , Farkas Ágnes , Gellért J. , Grósz T. , Halász F. , Havas J. , Kádas S. , Kafka P. , Karsai I. , Kovács Tamás , Kuluncsich T. , Külvári I. , Laborczi Z. , Losonci Z. , Márkus A. , Mészáros J. , Mitrocsák Anikó , Moson P. , Orbán G. , Palla L. , Papp Z. , Péli Katalin , Perémy G. , Rácz Éva , Rajczy P. , Szentgáli Á. , Szentmiklósi L. , Szeredi P. , Szilágyi I. , Takács L. , Thomka I. , Tihanyi L. , Tolnay-Knefély T. , Újvári István , Vass Erzsébet |
Füzet: |
1966/április,
164 - 165. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Tizes alapú számrendszer, "a" alapú számrendszer (a >1, egész szám), Szorzat, hatvány számjegyei, Gyakorlat, Maradékos osztás |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1965/május: 989. matematika gyakorlat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. I. A követelmény szerint a osztás végén nem lép fel maradék. Itt a hányados négyjegyű, így az első rész-osztandó volt, tehát , azaz . Továbbá a hányados első jegye , mert és különbsége egyjegyű, nem lehet meg benne mégegyszer az osztó. Legyen az első részmaradék , így a második rész-osztandó . Ez legfeljebb kétjegyű, így kisebb az osztónál, tehát a hányados második jegye . Az eddigiek összevágnak azzal, hogy a hányados 3. jegye is , azaz , hiszen a . rész-osztásból, -ból, ahol , más nem is következhet. A negyedik rész-osztás és a próba szerint Ebből a helyi értékek, valamint és figyelembevételével -re másodfokú egyenletet kapunk:
tehát vagy . Mindkét megoldás megfelel, mert a feladat nem írta elő, hogy a betűk helyére különböző számjegyeket írjunk. Valóban, , és . II. A fentiekben csak meghatározásában használtuk fel, hogy a követelményt a tízes számrendszerben értettük. Egy alapú számrendszerben ‐ ahol , egész szám ‐ (1) és a további számítás helyére a következők lépnek:
és innen , . Eszerint eredményünk minden számrendszerben érvényes, első értéke a számrendszer legnagyobb számjegye; megjegyezni csak azt kell, hogy esetén a két megoldás egybeesik: . II. megoldás. Egy három és egy négyjegyű szám szorzatának (jobbról számított) hatodik jegyét (az alap ötödik hatványának együtthatóját) a tényezők harmadik és negyedik jegyének (a második és harmadik hatvány együtthatójának) szorzata és az előző jegynél fellépő maradék összegéből állapítjuk meg. Mivel itt hetedik jegy a szorzatban nincs, tehát a hatodik jegy megállapításánál átvinni való maradék nincs, így , azaz , , mivel , mint szám első jegye, nem lehet . Az ötödik jegy hasonlóan a negyedik és második, a harmadik és harmadik jegy szorzatának és az előző maradéknak ‐ jelöljük -nel ‐ az összegéből adódik. miatt itt sem lép fel maradék, így . Innen . Nézzük most a szorzat második jegyének keletkezését. Az első jegyek szorzata , nem ad maradékot. Így a szorzat második jegye, ami , a utolsó jegye. Így a tízes számrendszerben csak vagy lehet, és mindkettő meg is felel. Tetszés szerinti alapszám esetén a harmadik jegy a -ből adódó maradék, , és a utolsó jegyének összegéből adódik, azaz
tehát vagy , és ismét mind a két érték megfelel.
Faragó Tibor (Budapest, Bláthy O. erősár. ip. techn. II. o. t.)
|
|