Kezdőlap


Feladat:	986. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Bárdos János , Dobozy Ottó
Füzet:	1966/február, 73 - 74. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Elsőfokú diofantikus egyenletek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1965/május: 986. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Legyen a $34 Ft$ -os könyvek száma $x$ , a $17, 50 Ft$ -osoké $y$ , ekkor a $27, 50 Ft$ -osok száma $109 - x - y$ , és a számla szerint, majd rendezés után

\begin{matrix} 34 x + 17, 5 y + 27, 5 (109 - x - y) = 2845, \\ 6, 5 x - 10 y = - 152, 5, \\ x = \frac{20 y - 305}{13} = y - 23 + \frac{7 y - 6}{13} . \end{matrix}

x

és

y

természetes számok, ezért a jobb oldal

3

. tagja egy

u

természetes szám:

\begin{matrix} \frac{7 y - 6}{13} = u, amiből y = \frac{13 u + 6}{7} = 2 u + 1 - \frac{u + 1}{7}, \end{matrix}

és ezt a meggondolást ismételve

\begin{matrix} \frac{u + 1}{7} = v, & egész szám, amiből u = 7 v - 1, továbbá \\ y = 2 u + 1 - v = 13 v - 1, \\ x = y - 23 + u = 20 v - 25, \end{matrix}

végül a

27, 50 Ft

-os könyvek száma

z = 135 - 33 v

x

-re csak akkor kapunk pozitív egész számot, ha

v

-t legalább

2

-nek választjuk; viszont

z

csak addig pozitív, míg

v

nem nagyobb

4

-nél, így

v

helyén csak

2

3

és

4

használható és

\begin{matrix} v = 2 esetén & x = 15, & y = 25, & z = 69, \\ v = 3'' & x = 35, & y = 38, & z = 36, \\ v = 4'' & x = 55, & y = 51, & z = 3. \end{matrix}

A feladat utolsó követelményének csak a

v = 3

-ból adódott értékrendszer felel meg, eszerint 35 db 34 Ft-os, 38 db 27,50 Ft-os és 36 db 17,50 Ft-os ajándékkönyvet vásároltak.

Bárdos János (Makó, József A. g. I. o. t.)

II. megoldás. Tovább is az I. megoldás jelöléseit használva és hasonló meggondolással a következő egyenletre jutunk:

\begin{matrix} 33 x + 20 z = 1875. \end{matrix}

(1)

A bal oldal első tagja osztható

3

-mal, a 2. tag

5

-tel, és a jobb oldal mindkettővel. Mivel

3

és

5

egymáshoz relatív prím számok, ez csak úgy lehetséges, ha

x

5

-nek,

z

pedig

3

-nak többszöröse:

x = 5 t

z = 3 s

, ahol

t

és

s

természetes szám. Ezeket (1)-be beírva egyszerűsítés után

\begin{matrix} 11 t + 4 s = 125. \end{matrix}

(2)

A jobb oldal páratlan,

4 s

viszont páros, ezért

11 t

-nek, és ehhez magának

t

-nek is páratlannak kell lennie:

t = 2 r - 1

, ahol

r

természetes szám. Ezt (2)-be beírva rendezés után

\begin{matrix} 11 r + 2 s = 68, \end{matrix}

itt viszont

r

csak páros lehet,

r = 2 q

(

q

természetes szám), amiből

s = 34 - 11 q

.
Eszerint csak

q = 1

, 2, 3 felel meg, amiből egyrészt

r = 2

, 4, 6;

t = 3

, 7, 11;

x = 15

, 35, 55; másrészt

s = 23

, 12, 1;

z = 69

, 36, 3. Innen az I. megoldás meggondolásával jutunk az eredményhez.

III. megoldás. Induljunk ki a feladat utolsó közléséből. A könyvek átlagára

(34 + 27, 50 + 17, 50) / 3 = 79 / 3

majdnem pont

36

-od része az elköltött összegnek, így mindegyik fajta könyvből 36 db-ot véve 36

(34 + 27, 5 + 17, 5) = 2844 Ft

-ot költenénk el, 1 Ft-unk maradna, és még 1 db könyvet kellene vennünk. Az utolsó könyv fedezetére legalább 16,50 Ft-ot kell biztosítanunk, ami csak úgy lehetséges, ha drágább könyvet olcsóbbra cserélünk. A legnagyobb és a legkisebb egységár különbsége éppen 16,50 Ft, így 1 db 34 Ft-os könyv helyett, az 1 Ft maradványt is felhasználva 2 db 17,50 Ft-os könyvet vehetünk, a pénz is elfogy, és a kívánt

109

könyv is megvan.
Kevesebb cserével nem kaphatunk megoldást, eszerint az árak csökkenő rendjében

35

36

, ill. 38 db könyvet vásároltak.

Dobozi Ottó (Budapest, Apáczai Csere J. gyak. g. I. o. t.)

Megjegyzés. Elég sok dolgozat állította azt, hogy a filléreket is tartalmazó 27,50 Ft és 17,50 Ft árú könyvek mindegyikéből páros számút kell vennünk, hogy a kerek számú forintot felhasználjuk. ‐ Ez téves. Annyi igaz, hogy

y + z

páros,

x

páratlan, ez viszont még nem teszi egyértelművé a megoldást.