Kezdőlap


Feladat:	985. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Parraghy Péter
Füzet:	1966/február, 72 - 73. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Középpontos tükrözés, Kör (és részhalmaza), mint mértani hely, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1965/április: 985. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tekintsük a forgó egyenesnek egy az $O_{1} O_{2}$ egyenestől különböző és arra nem merőleges helyzetét. Az $E M_{1} O_{1}$ és $E M_{2} O_{2}$ egyenlőszárú háromszögek hasonlók, mert az alapon fekvő, $E$ -nél levő szögeik csúcsszögek, és így egyenlők, tehát egyenlő az $M_{1}$ -nél, ill. $M_{2}$ -nél levő szögük is. Így $M_{2} O_{2}$ párhuzamos $O_{1} M_{1}$ -gyel, és a feltétel szerint fele akkora.

Legyen a kérdéses metszéspont

P

. Ekkor

P M_{1} O_{1}

és

P O_{2} M_{2}

hasonló háromszögek, mert megfelelő oldalaik egybeesnek, vagy párhuzamosak, és a megfelelő szakaszok aránya

O_{1} M_{1} : M_{2} O_{2} = 2 : 1 = M_{1} P : O_{2} P

. Így

P

M_{1}

pontnak

O_{2}

-re való tükörképe.
Amennyiben a forgó egyenes átmegy

O_{1}

-en (és így

O_{2}

-n is), vagy arra merőleges, akkor

M_{1}

és

M_{2}

O_{1} O_{2}

egyenesen adódik, az

M_{1} O_{2}

és

M_{2} O_{1}

egyenesek egybeesnek, határozott metszéspontról nem lehet szó.
Így

P

csak az

O_{1}

középpontú körnek

O_{2}

-re való tükörképén (más szóval

180^{\circ}

-kal való elforgatottján) lehet. E körnek minden pontja hozzátartozik a keresett mértani helyhez, kivéve az

O_{1} O_{2}

egyenesen levő

Q_{1}

Q_{2}

pontjait. Ugyanis a forgó egyenesnek a

P

-t előállító helyzetét meghatározza

P

-nek

O_{2}

-re való

M_{1}

tükörképe; viszont

Q_{1}

tükörképe

E

, ekkor a forgó egyenes csak érintheti a köröket, merőleges

O_{1} O_{2}

-re,

Q_{2}

-ből pedig az

O_{1} O_{2}

-helyzet adódik számára, így pedig ‐ mint láttuk ‐ nem kapjuk vissza

Q_{1}

-et, ill.

Q_{2}

-t.

Parraghy Péter (Budapest, Bláthy O. erősár. ip. techn. II. o. t.)