Kezdőlap


Feladat:	982. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Erdődi György
Füzet:	1966/szeptember, 16 - 17. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Húrnégyszögek, Négyszögek szerkesztése, Gyakorlat, Látókörív
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1965/április: 982. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen az adott kör $k$ , középpontja $O$ , és az adott hosszúság $d$ , és jelöljük mindkét alesetben az adott pontot $E$ -vel, az adott szöget $ε$ -nal.
a) Legyen $k$ -nak egy $d$ hosszúságú húrja¹ $D^{*} A^{*}$ , ennek $ε$ nyílásszögű látószögkörívpárja $i_{1}$ , $i_{2}$ (egymás tükörképei a $D^{*} A^{*}$ egyenesre), és az $O$ körüli $O E$ sugarú $k'$ körnek $i_{1}$ és $i_{2}$ valamelyikével közös pontja $E^{*}$ . Messe $k$ -t (másodszor) az $E^{*} A^{*}$ egyenes $B^{*}$ -ban, $E^{*} D^{*}$ pedig $C^{*}$ -ban, és legyen $A$ a $k$ -nak és az $E$ körül $E^{*} A^{*}$ sugárral írt körnek az a közös pontja, amelyre nézve az $O E A ▵$ megegyező körüljárású a (vele egybevágó) $O E^{*} A^{*} ▵$ -gel. Végül forgassuk el az $A^{*} B^{*} C^{*} D^{*}$ négyszöget $O$ körül addig, míg $A^{*}$ az $A$ -ba jut. Ekkor a négyszög új, $A B C D$ helyzete megfelel a követelményeknek, mert csúcsai a $k$ -n vannak, és a forgatás $E^{*}$ -ot $E$ -be viszi át, továbbá változatlanul hagyja $d$ hosszát és az $A^{*} E^{*} D^{*}$ szöget.

1. ábra

A feladat megoldható, ha

d

nem nagyobb

k

átmérőjénél és

k'

metszi vagy érinti az

i_{1}

i_{2}

pár valamelyikét, továbbá

E

nincs

k

-n, amennyiben csúcsok egybeesését nem engedjük meg. A közös pontok száma

i_{1}

-en és

i_{2}

-n egymástól függetlenül 2, 1 vagy 0 lehet, így a megoldások száma 4, 3, 2, 1 vagy 0. Ha ugyanazon

i

-nek

k'

-vel alkotott két metszéspontját vesszük

E^{*}

-nak, az adódó megoldások egymás tükörképei

O E

-re mint tengelyre, de külön megoldásnak tekintendők, mert a helyzet szerint megadott

E

-hez képest más helyzetűek. Ha

k'

érinti pl.

i_{1}

et, akkor

A B C D

húrtrapéz. Ha

E

k

belsejében van, akkor az adódó négyszög hurkolt.

2. ábra

b) A második alesetben legyen az a) aleset szerinti

A^{*} D^{*}

-ot érintő,

O

körüli kör

k''

, és a hozzá

E

-n át húzott egyik érintőnek

k

-n levő pontjai

A

és

D

. Az

E

-n átmenő,

E A

-val

ε

szöget bezáró

f_{1}

f_{2}

egyenesek valamelyikének

k

-val való

B

és

C

metszéspontjai szolgáltatják a négyszög további két csúcsát. A feladat megoldható, ha

d

nem nagyobb

k

átmérőjénél, ha

f_{1}

f_{2}

közül legalább az egyik metszi

k

-t; továbbá ha

E

nincs a

k''

belsejében; a megoldások száma legfeljebb 4.

Erdődi György (Szeged, Rózsa F. g. I. o. t.)

¹Az 1. ábrában a

B^{*} E^{*}

szakasz

A

jelű pontja helyesen

A^{*}