|
Feladat: |
981. matematika gyakorlat |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Babai László , Balázs Katalin , Bulkai T. , Eff L. , Fialovszky Béla , Gellért J. , Hevenesi P. , Kádas S. , Karsai I. , Kloknicer I. , Kovács M. , Laborczi Z. , Mérő L. , Moson P. , Papp Z. , Péli Katalin , Rácz Éva , Somogyi P. , Somos E. , Szentgáli Á. , Szeredi P. , Szűcs A. , Takács L. , Tolnay-Knefély T. , Tóth-Pál S. |
Füzet: |
1967/január,
21 - 22. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Egyenlőtlenségek, Teljes indukció módszere, Gyakorlat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1965/április: 981. matematika gyakorlat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Az állításnak 1-nél nagyobb egész -ekre van értelme. Jelöljük az számok összegét -val, szorzatukat -val, ekkor a következő egyenlőtlenséget kell bizonyítani: | | (1) |
Az állítást teljes indukcióval bizonyítjuk. esetén | | mert , és pozitív, miután . Tegyük fel, hogy valamilyen értékre igaz az állítás és vizsgáljuk számú, 1-nél kisebb pozitív számra (1) bal oldalát:
mivel és , mert a feltételek szerint . Feltevésünket az 1-nél kisebb pozitív számokra alkalmazva, az első különbség kisebb -nél, s így tehát az állítás helyessége öröklődik -ről -re. Mivel -re már beláttuk, hogy helyes, így minden -re igaz.
Fialovszky Béla (Esztergom, Temesvári Pelbárt Ferences g. II. o. t.)
II. megoldás. A bizonyítandó állítást a következő alakban írhatjuk: | |
Ismét teljes indukcióval bizonyítunk. -re a bal oldalból levonva a jobbat | | mert , . Az állítás tehát ez esetben helyes. Tegyük fel, hogy az állítás helyes valamilyen esetre, és legyenek adva az 1-nél kisebb pozitív számok. Feltevésünk szerint az első számra | | Szorozzuk ezt meg a pozitív -gyel, majd alkalmazzuk a jobb oldalon fellépő szorzatokra az -re már bizonyított egyenlőtlenséget. (Tehetjük, mert , és ): | | | | Ezzel a feladat állítását igazoltuk.
Megjegyzés. Mindkét bizonyítás gondolatmenetével belátható, hogy az állítás az feltétel mellett is teljesül, kivéve, ha az értékek közt szerepel legalább számú 1-es; utóbbi esetben (1)-ben is egyenlőség áll fenn.
Babai László (Budapest, Fazekas M. gyak. g. II. o. t.)
|
|