Kezdőlap


Feladat:	979. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Rácz Éva , Vidovszky István
Füzet:	1966/január, 9 - 10. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nevezetes azonosságok, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Gyakorlat, Paraméteres egyenletek
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1965/április: 979. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha egy másodfokú egyenletnek van valós gyöke, akkor a diszkriminánsa nem negatív. (1) diszkriminánsának $1 / 4$ része viszont egy négyzetösszeg negatívjává alakítható:

\begin{matrix} {(a - b + c)}^{2} - 3 (a^{2} + b^{2} + c^{2}) = - 2 (a^{2} + b^{2} + c^{2} + a b - a c + b c) = \\ = - [{(a + b)}^{2} + {(a - c)}^{2} + {(b + c)}^{2}], \end{matrix}

tehát nem lehet pozitív. Így a diszkrimináns értéke csak 0 lehet, mindegyik zárójel értéke 0, azaz

\begin{matrix} a + b = 0, a - c = 0, b + c = 0, \end{matrix}

amiből a keresett összefüggés

a = c = - b

Rácz Éva (Makó, József A. g. I. o. t.)

Megjegyzés. A diszkrimináns eltűnéséből következik, hogy (1)-nek csak egy valós gyöke van, és ez a talált összefüggés szerint

a^{2} x^{2} + 2 a x + 1 = {(a x + 1)}^{2} = 0

-ra egyszerűsödő egyenletből

x = - 1 / a

. Ebből a föltevés szerint következik, hogy

a

- b

és

c

közös értéke nem 0. (Különben nem volna megoldása (1)-nek.)

Vidovszky István (Budapest, Fazekas M. gyak. g. II. o. t.)