Feladat: 978. matematika gyakorlat Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Babai L. ,  Eff Lajos ,  Gáspár A. ,  Szeredi P. 
Füzet: 1965/december, 218 - 219. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Algebrai átalakítások, Nevezetes azonosságok, Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Paraméteres egyenletrendszerek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1965/április: 978. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Fejezzük ki (1)-ből y-t, (3)-ból z-t, helyettesítsük a kifejezéseket (2)-be, és gyűjtsük az x-et tartalmazó tagokat az egyik, az x-et nem tartalmazó tagokat a másik oldalra:

y=(c-a)(a+b)+a-cb+cx,(1')z=(a+b)(c+a)+a+bc-bx,(3')(a-c(b+c)(c+a)+a+b(c-b)(a-b))⋅x=(4)=(a-c)(a+b)c+a+(a+b)(c+a)b-a+b+c.


Közös nevezőre hozás és beszorzás után
2(abc+a2c+c2b+b2a)(c2-b2)(c+a)(a-b)⋅x=2(abc+a2c+c2b+b2a)(c+a)(b-a),
így hányadosuk, majd (1') és (3') alapján a másik két ismeretlen
x=b2-c2,y=(c-a)(a+b+c-b)=c2-a2,z=a2-b2,
hacsak az egyszerűsítő tényező 0-tól különböző:
K=abc+a2c+c2b+b2a≠0.
Természetesen azt is feltettük, hogy az előforduló nevezők is mind különbözők 0-tól ‐ különben legalább egyik egyenletnek nem volna értelme, és így az egyenletrendszernek sem ‐ vagyis
(a+b)(a-b)(b+c)(b-c)(c+a)(c-a)=(5)=(a2-b2)(b2-c2)(c2-a2)≠0.



Amennyiben K=0, akkor (4)-et x helyén bármely szám kielégíti, és így az egyenletrendszernek végtelen sok megoldása van:
x=t,y-(c-a)(a+b)+a-cb+c⋅t,z=(a+b)(c+a)+a+bc-b⋅t,
ahol t tetszés szerinti szám. Ilyen esetet kapunk pl. K=0-ból, ha a-t 1-nek, c-t -2-nek választjuk, b-t pedig az adódó b2+2b-2=0 egyenlet egyik gyökének, 3-1-nek.
Minden ilyen esetben az egyenletrendszerben függés áll fenn, két egyenletet alkalmas számokkal való szorzás után összeadva a hátra levő egyenletet kapjuk, pl. a mondott számpélda esetében a rendszer:
x3-3-y3=3,-y+z2-3=3-3,x1+3+z3=-1,
és itt az első egyenlet 3-szorosát és a harmadik egyenlet (23+3)-szorosát összeadva a második egyenletet kapjuk.
 
Eff Lajos (Budapest, Fazekas M. gyak. g. II. o. t.)
 

Megjegyzés. A legtöbb dolgozat nem gondolt a K=0 esetből adódó következményekre.
Néhányan tévesen azt állították, hogy K=0 lehetőségét kizárja (5) feltételezése.
K=0-ra vezető számpélda keresése nem volt része a feladatnak, de mindenesetre közelebb visz a kérdésben való tisztánlátáshoz. Azonban a K≠0 feltétel puszta kimondásához az I. osztályos tudás elegendő.