Kezdőlap


Feladat:	977. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Babai L. , Berkes Z. , Bozóky-Szeszich Á. , Bulkai T. , Dobozy O. , Élthes Eszter , Erdődi Gy. , Faragó T. , Fencsik G. , Fialovszky B. , Fűrész József , Gáspár A. , Gellért J. , Grósz T. , Gy. Molnár Cs. , Havas J. , Horváth Albert , Horváth Cecília , Hunyadvári L. , Kádas S. , Kele A. , Kloknicer I. , Kovács M. , Kovács T. , Kuluncsich T. , Laborczi Z. , Lukács G. , Márkus A. , Marossy F. , Medveczky M. , Mérő L. , Palla L. , Párdány Zs. , Szentgáli Á. , Szeredi P. , Szücs A. , Tolnay-Knefély T. , Varsányi Anikó , Verdes S. , Vizvári B.
Füzet:	1966/március, 116. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Terület, felszín, Paralelogrammák, Rombuszok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1965/március: 977. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A $C$ -n és $R$ -en át rajzolt 2‐2 merőleges páronként párhuzamos egymással, ezért $C S R T$ paralelogramma; másrészt egymás tükörképei $f$ -re, hiszen merőlegesen állnak az $f$ -re tükrös helyzetű $C D$ , ill. $C B$ egyenesre. Így az $f$ -en levő $C R$ átló felezi az $S C T$ szöget, a négyszög valóban rombusz.

Az idomok területét ugyanúgy jelölve, mint magukat az idomokat, a kérdéses területek kifejezhetők háromszögek területével:

\begin{matrix} A B C D = A P Q - B P C - D C Q, & (1) \\ C S R T = 2 \cdot S R C . & (2) \end{matrix}

A két egyenlőség jobb oldalán álló 4 háromszög hasonló, mert az első három oldalai rendre párhuzamosak, ill. egybeesők, a

C S R

háromszög oldalai pedig rendre merőlegesek amazok egy‐egy oldalára. Hasonló háromszögek területei arányosak valamely megfelelő oldaluk négyzetével, ezért

\begin{matrix} A P Q = k \cdot P Q^{2} = k {(P C + C Q)}^{2} = k \cdot P C^{2} + 2 k \cdot P C \cdot C Q + k \cdot C Q^{2}, \end{matrix}

\begin{matrix} B P C = k \cdot P C^{2}, D C Q = k \cdot C Q^{2}, \end{matrix}

ahol

k

alkalmas szám. Továbbá felismerve, hogy

C R

P C

és

C Q

szakaszok mértani középarányosa

\begin{matrix} 2 \cdot S R C = 2 k \cdot C R^{2} = 2 k \cdot P C \cdot C Q . \end{matrix}

Ezeket (1)-be, ill. (2)-be beírva, a jobb oldalak egyenlők. Ezzel az állítást bebizonyítottuk.

Fűrész József (Tatabánya, Árpád g. II. o. t.)