Kezdőlap


Feladat:	975. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Eördögh Gábor [1965-1969] , Kovács Tamás , Kulcsár Katalin [1965-1969]
Füzet:	1965/december, 215 - 216. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Geometriai egyenlőtlenségek, Derékszögű háromszögek geometriája, Súlyvonal, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1965/március: 975. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Legyen az $A B C$ derékszögű háromszög $A B$ átfogójának és $B C$ , $C A$ befogóinak felezőpontja rendre $C_{0}$ , $A_{0}$ , $B_{0}$ , az $A A_{0}$ , $B B_{0}$ és $C C_{0}$ súlyvonalak közös pontja $S$ , és legyen $A C > B C$ . Így ezeket kell belátnunk:

\begin{matrix} B B_{0} < A A_{0}, & (1) \\ B B_{0} > A A_{0} / 2. & (2) \end{matrix}

Mivel

\begin{matrix} A S = \frac{2}{3} A A_{0}, B S = \frac{2}{3} B B_{0}, és A_{0} S = \frac{1}{3} A A_{0}, \end{matrix}

ezért egyenlőtlenségeink egyenértékűek a következőkkel:

\begin{matrix} B S < A S, & (3) \\ B S > A_{0} S . & (4) \end{matrix}

Meghúzva az

A B

szakasz felező merőlegesét, ennek

C

ugyanazon a partján van, mint

B

, és így az egész

C C_{0}

szakasz, tehát annak

S

pontja is ugyanazon a partján van. Ebből következik (3) helyessége.
Másrészt

A_{0} C_{0}

merőleges

B C

-re és az

A A_{0} B

szögtartományban van, mert

C_{0}

A B

szakaszon van. Így

A A_{0} B ∢ > C_{0} A_{0} B_{0} ∢ = 90^{\circ}

. Ebből következik, hogy

B S

A_{0} B S ▵

legnagyobb oldala, tehát fennáll (4) is.

Eördögh Gábor (Budapest, Berzsenyi D. g. I. o. t.)
Kovács Tamás (Győr, Benedek-rendi Czuczor G. g. I. o. t.)

II. megoldás. (1) és (2) két oldala pozitív, így elég belátni a négyzetre emeléssel adódó

\begin{matrix} B B_{0}^{2} < A A_{0}^{2}, & (1a) \\ B B_{0}^{2} > A A_{0}^{2} / 4 & (2a) \end{matrix}

egyenlőtlenségek fennállását. A Pythagoras-tételt alkalmazva az

A A_{0} C

és

B B_{0} C

derékszögű háromszögre, képezzük (1a) és (2a) oldalainak különbségét. A feltevés figyelembevételével

\begin{matrix} A A_{0}^{2} - B B_{0}^{2} = A C^{2} + \frac{B C^{2}}{4} - (B C^{2} + \frac{A C^{2}}{4}) = \frac{3}{4} (A C^{2} - B C^{2}) > 0, \\ B B_{0}^{2} - \frac{A A_{0}^{2}}{4} = ({B C}^{2} + \frac{A C^{2}}{4}) - (\frac{A C^{2}}{4} + \frac{B C^{2}}{16}) = \frac{15}{16} B C^{2} > 0, \end{matrix}

tehát (1a) és (2a) mindegyike igaz.

Kulcsár Katalin (Budapest, Berzsenyi D. g. I. o. t.)

Megjegyzés. A második esetben egyik megoldásban sem használtuk fel a befogók nagyságviszonyát, a

B C \geq A C

esetekben azonban (1) mellett (2) semmitmondó.