Kezdőlap


Feladat:	973. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Baranyai Zsolt , Steiner György , Varga Gabriella
Füzet:	1965/december, 213 - 214. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Racionális számok és tulajdonságaik, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Maradékos osztás, Prímtényezős felbontás, Szakaszos tizedestörtek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1965/március: 973. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. A jobb oldali szakaszos tizedes törteket az 1302. feladat megoldásában ^{$^{*}$} látott eljáráshoz hasonlóan két-két természetes szám $A / B$ , ill. $C / D$ hányadosává alakítjuk. Az első szakaszos tizedes tört hetedik tizedes jegye után az $538 461$ szakasznak vég nélküli ismétlődése annak a következménye, hogy amikor az $A : B$ hányados számjegyeinek megállapításában $6, 653 8461$ -ig jutottunk (és már az 1-essel adódó $B$ részletszorzatot is levontuk a rész-osztandóból), akkor ugyanaz az $R$ maradék ismétlődött meg, mint ami a hányados jegyeinek $6, 6$ -ig való megállapítása után adódott, attól eltekintve, hogy $R$ helyi értéke az utóbbi esetben 1/10, az ismétlődéskor pedig $1 / 10 000 000 = 1 / 10^{7}$ . Így a két maradékos osztás $A$ következő előállításait adja:

\begin{matrix} A = B \cdot 6, 6 + R / 10, \\ ill. & A = B \cdot 6, 653 8461 + R / 10^{7}, \end{matrix}

és a második egyenlőség

10^{6}

-szorosából az elsőt kivonva a keresett alak:

(10^{6} - 1) A = B (6 653 846, 1 - 6, 6)

\begin{matrix} \frac{A}{B} = \frac{66 538 461 - 66}{10 \cdot (10^{6} - 1)} = \frac{66 538 395}{9 999 990} = \frac{173}{26} . \end{matrix}

Az egyszerűsítésben felhasználtuk, hogy a nevező könnyen tényezőkre bontható:

\begin{matrix} 999 999 = 999 \cdot 1001, 999 = 27 \cdot 37, és 1001 = 7 \cdot 11 \cdot 13; \end{matrix}

eszerint az első szakaszos tizedes tört

173 / 26

tizedes törtté alakításából adódik, amiről könnyen meggyőződhetünk.
Hasonlóan a (2) egyenlet jobb oldalának közönséges tört alakja

\begin{matrix} \frac{C}{D} = \frac{5 769 230 - 5}{9 999 990} = \frac{15}{26} . \end{matrix}

II. Szorozzuk mindkét egyenletet

x y

-nal, és adjunk az új első egyenlethez

2 x y

-t, így az utolsó alak bal oldala egyenlő az új második egyenlet bal oldalának négyzetével

\begin{matrix} x^{2} + y^{2} = \frac{173}{26} x y, & (1a) \\ x + y = \frac{15}{26} x y, & (2a) \\ x^{2} + 2 x y + y^{2} = {(x + y)}^{2} = (\frac{173}{26} + 2) x y = \frac{225}{26} x y, & (1b) \end{matrix}

így előbb (1b)-t (2a)-val, majd (2a) négyzetét (1b)-vel osztva, rendezés után

\begin{matrix} x + y = 15, x y = 26. \end{matrix}

(Felhasználtuk, hogy

x \neq 0

, és

y \neq 0

, hiszen különben az egyenletrendszernek nem volna értelme.) Eszerint

x

és

y

egyenlő a

\begin{matrix} z^{2} - 15 z + 26 = 0 \end{matrix}

egyenlet gyökeivel: 13-mal és 2-vel, bármelyik sorrendben:

\begin{matrix} x_{1} = 13, y_{1} = 2, és x_{2} = y_{1}, y_{2} = x_{1} . \end{matrix}

Az értékpár valóban kiegyenlíti az egyenletrendszert.

Steiner György (Budapest, Radnóti M. gyak. g. III. o. t.)
Baranyai Zsolt (Budapest, Fazekas M. gyak. g. III. o. t.)

Megjegyzések. 1. Új

u

változót vezetve be

x / y

helyett a végtelen tizedes törtek közönséges törtté alakítása után az

\begin{matrix} u + \frac{1}{u} = \frac{173}{26}, \frac{1}{y} (\frac{1}{u} + 1) = \frac{15}{26}, x = y u \end{matrix}

egyenletrendszerhez jutunk. Az elsőből

u

-ra

13 / 2

és

2 / 13

adódik, a másodikból

y = 2

, ill.

13

, és a harmadikból

x = 13

, ill.

2

Varga Gabriella (Szombathely, Savaria g. II. o. t.)

2. A megoldások nagyobb része a szakaszos tizedes tört közönséges törtté való átalakításának éppen azt a módját választotta, amelyről az 1302. feladat 2. megjegyzésében közöltük, hogy a középiskolai tananyagban nem tisztázott úton halad, végtelen sok jeggyel írt számokkal úgy végez kivonást, mint véges sok jeggyel írt számokkal szokás. Akik a fentiek szerint végezték az átalakítást, vagy említést tettek erről a kérdésről, 1 jutalompontot kaptak.

^{$^{*}$}Az 1302. feladat megoldásának tanulmányozását a szerkesztőség ajánlotta e gyakorlat kitűzésekor; lásd K. M. L. 30 (1965) 18. o.