Kezdőlap


Feladat:	972. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Halász Ferenc , Karsai István
Füzet:	1965/október, 63. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Szorzat, hatványozás azonosságai, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1965/március: 972. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Képezzük az $A w$ , a $C v$ és a $B u$ szorzatot, és vegyük figyelembe a feltevést:

\begin{matrix} A w & = w (u v + u + 1) = u v w + u w + w = 1 + u w + w = C, \\ C v & = v (w u + w + 1) = 1 + v w + v = B, & (1) \\ B u & = u (v w + v + 1) = 1 + u v + u = A . \end{matrix}

Az elsőből

w = C / A

, a másodikból

v = B / C

, ezeket

B

kifejezésébe helyettesítve, majd az egyenlőséget

A C

-vel szorozva a bizonyítandó egyenlőséget kapjuk:

\begin{matrix} B = \frac{B}{C} \cdot \frac{C}{A} + \frac{B}{C} + 1, A B C = B C + A B + A C . \end{matrix}

Bizonyításunk csak olyan

u

v

w

számhármasokra érvényes, amelyekre sem

A

, sem

C

nem 0. Az (1) egyenlőségekből látjuk, hogy ha

A

B

C

bármelyikéről tudjuk, hogy nem 0, akkor a másik kettő sem 0, hiszen

u v w = 1

miatt

u

v

w

egyike sem 0. Ha viszont

A

B

C

egyike 0, akkor a másik kettő is egyenlő vele, így pedig a bizonyítandó egyenlőség fennáll. Ezzel a kimaradt esetre is bebizonyítottuk az állítást.

Karsai István (Szeged, Radnóti M. g. II. o. t.)

Megjegyzés. Megoldásunk lényegében azonos a 812. gyakorlatra¹ közölt megoldással. Ott azt bizonyítottuk, hogy ha

u v w = 1

, akkor

\begin{matrix} \frac{1}{1 + u + u v} + \frac{1}{1 + v + v w} + \frac{1}{1 + w + w u} = 1. \end{matrix}

Ebből jelöléseinkkel

1 / A + 1 / B + 1 / C = 1

, amiből a nevezők eltávolításával az állítás adódik.

Möller István

II. megoldás. Képezzük az alábbi számok szorzatát, figyelembe véve a feltevést, majd a jelöléseket:

\begin{matrix} A - 1 = u (v + 1), B - 1 & = v (w - 1), C - 1 = w (u + 1), \\ (A - 1) (B - 1) (C - 1) & = u v w (u + 1) (v + 1) (w + 1) = \\ = 2 + u v + v w + w u + u + v + w = \\ = A + B + C - 1. \end{matrix}

A bal oldalon is beszorozva

\begin{matrix} (A B C - A B - B C - C A) + (A + B + C - 1), \end{matrix}

eszerint az első zárójel értéke 0. Ezzel az állítást bebizonyítottuk.

Halász Ferenc (Budapest, Berzsenyi D. g. II. o. t.)

¹K. M. L. 27 (1963) 153. o.