Kezdőlap


Feladat:	971. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	1965/november, 126 - 127. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Lánctörtek, Fizikai jellegű feladatok, Csillagászati, földrajzi feladatok, Numerikus és grafikus módszerek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1965/március: 971. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az évnek a $365$ napon felüli része $(5 \cdot 60 + 48) 60 + 46 = 20 926$ másodperc, másrészt $1$ nap $= 86 400$ mp, így a töredék rész, napban kifejezve, majd lánctörtbe fejtve

\begin{matrix} t = \frac{20 926}{86 400} = \frac{1}{4 + \frac{1348}{10 463}} = \frac{1}{4 + \frac{1}{7 + \frac{1027}{1348}}} = ... \end{matrix}

A lánctört jegyei (rész-nevezői) egymás után

4

7

1

3

5

64

, a közelítő törtek:

\begin{matrix} 1 / 4, 7 / 29, 8 / 33, 31 / 128, 163 / 673. \end{matrix}

A Julius Caesar-féle naptár (röviden julián naptár) a töredéket

1 / 4

napnak vette, minden negyedik év után iktatott be a felszaporodott töredék részeket egybefogva

1

szökőnapot, és ezeket az éveket nevezte szökőévnek.
Az év fent megadott tartamának ismeretében ma már látjuk, hogy így minden évet

11

perc és

14

másodperccel hosszabbnak vettek a kelleténél, ezért az időszámítás

4

évenként

44

perc

56

másodperccel (majdnem

3 / 4

órával) megkésett. A

4

évi késés

1

napban

32

-szer van meg, így a következő kiegészítés lett volna célszerű:

...

de minden

32

-ik szökőévet vissza kell minősíteni közönséges évvé. Ezt mutatja a

4

. közelítő tört is, amely szerint

128

évenként nem

32

-szer, hanem csak

31

-szer célszerű szökőévet tartani. De ahogyan Caesar idejében még nem ismerték az év tartamát a fenti pontossággal, és így nem adhatták ezt az utasítást, hasonlóan számontartani is nehéz lett volna a kihagyást a

128

-as szám nem kerek volta miatt.
Hasonlóan még ma is zavaró lenne, ha

29

évenként

7

, vagy

33

évenként

8

szökőnapot tartanánk a

2

. és

3

. közelítő törtnek megfelelően. Egyébként a

3

. közelítő törtre alapított tanács az első kettő kombinációjának tekinthető: a

33

év első

29

éve alatt

7

, a hátra levő

4

alatt

1

szökőnapot iktassunk be. Másképpen, mivel a

33

év

3

-szorosa közel

100

év, ezt is mondhatnók:

100

évenként

3 \cdot 8 = 24

-szer tartsanak szökőnapot,

1

-gyel kevesebbszer, mint a julián naptár szerint.
Evvel már majdnem azonos a Gergely-féle naptárreform utasítása (1582), amely szerint ‐ mint tudjuk ‐ most minden

4

évszázadból

3

-ban közönségessé minősítjük vissza a

00

-ra végződő sorszámú évet,

00

-ra végződő sorszámú év csak akkor szökőév, ha a

00

előtt álló része is

4

-gyel osztható szám, vagyis minden

400

évben csak

97

szökőnapot tartunk. Ez a könnyen megjegyezhető és a kérdést hosszú időre megoldó utasítás egyszerűen megmagyarázható a

4

. és az

1

. közelítő törtnek az előbbi példához hasonló kombinációjával is: a kerek

400

évbe

128

éves időszakokból

3

fér be, a kimaradó

16

évet pedig kitöltheti

4

négyéves időszak, így is kiadódik a

3 \cdot 31 + 4 \cdot 1 = 97

szökőév. A kombináció szerencsésen jó közelítésébe belejátszik az, hogy

1 / 4

felső,

31 / 128

pedig alsó közelítő tört. Hasonlóan az

5

. közelítő tört ismét felülről közelít és a

4

.-kel kombinálva

801

évre

194

szökőnapot javasol.
Az év töredék-napjának

400

-szorosa

2000

óra,

19 200

perc

18 400

= 96

nap

21

6

40

mp, nem egészen

3

órával marad alatta a beiktatott

97

szökőnapnak. Másképpen:

400

éves átlagban az évet

\begin{matrix} 365 + \frac{97}{400} = 365 + \frac{20 952}{86 400} \end{matrix}

napnak vesszük, vagyis

26

másodperccel hosszabbnak a kelleténél. Mindkét módon látszik, hogy az eltérés csak

3000

év múlva nő

1

napra.
Ezek szerint a Gergely-féle naptárreformot igen szerencsésnek mondhatjuk, különösen ha meggondoljuk, hogy az év tartama

1582

-ben sem a fenti pontossággal volt ismert, hiszen az ingaórát csak a XVII. században találta fel Huygens, és az évi középnap, mint időegység, csak a XIX. század folyamán alakult ki.
Megjegyezzük még, hogy a reformnak egy másik, a maga idejében sokkal fontosabb intézkedése is volt, hiszen a már tárgyalt módosítás csak

1700

-ban került először alkalmazásra. Azt tapasztalták, hogy a régi feljegyzésekhez képest az időjárás és a napéjegyenlőségek kb.

10

napos előresietést mutattak a naptárban. Ezt küszöbölte ki a reform avval, hogy

1582

. október

4

-e után mindjárt

15

-ét íratott, a naptárt úgy állította be, hogy a tavaszi napéjegyenlőség ismét március

21

-ére vagy

22

-ére essék.