Kezdőlap


Feladat:	970. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Baranyai Zs. , Csikós M. , Faragó T. , Füvesi I. , Gáspár A. , Herényi I. , Horváth Rozália , Horváth Sándor , Jobbágy T. , Kovács Gábor , Lelkes A. , Malina J. , Moson P. , Pintér J. , Pláveczky Gy. , Sipos L. , Szeredi P. , Szilléry A. , Szűcs A. , Takács L. , Verdes S.
Füzet:	1966/február, 68 - 70. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Numerikus módszerek, Racionális együtthatós polinomok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1965/március: 970. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A kívánt értékeket könnyen számíthatjuk az adott kifejezés négyzetének polinom-alakjából. Ugyanis abból az $x^{2}$ -es, $x^{3}$ -ös és az $x^{4}$ -es tag hiányzik:

\begin{matrix} K^{2} = 1 + x - \frac{7}{128} x^{5} + \frac{7}{512} x^{6} - \frac{5}{1024} x^{7} + \frac{25}{16 384} x^{8} . \end{matrix}

Továbbá az

x^{5}

-ös tag abszolút értéke mindegyik előírt

x

-érték esetében kisebb a

6

-ik tizedes számjegy helyi értékénél, hiszen már a legnagyobb abszolút értékű

x = \pm 0, 1

esetében

\begin{matrix} | \frac{7}{128} \cdot x^{5} | < \frac{7}{100} 0, 1^{5} = 0, 000 000 7 < 0, 000 001. \end{matrix}

Végül mert a további

3

tag abszolút értéke rendre kisebb az előtte állónál, a

4

5

6

. tag abszolút értékének az aránya az előzőéhez rendre

\begin{matrix} | \frac{x}{4} |, | \frac{5 x}{14} |, | \frac{5 x}{16} |, \end{matrix}

és ez a hányados mindegyik előírt

x

esetében kisebb

1

-nél, hiszen pl.

| x | = 0, 1

esetében értékük

1 / 40

1 / 28

, ill.

1 / 32

.
Mindezek ellenére nem mondhatjuk, hogy elég

K^{2}

első két tagját figyelembe vennünk. Ugyanis egyrészt az

x^{5}

-es tag abszolút értéke, legalábbis

x = \pm 0, 1

esetén, még nagyobb a

6

. tizedes jegy helyi értékének felénél:

\begin{matrix} | \frac{7}{128} \cdot x^{5} | > | \frac{7}{140} \cdot x^{5} | = | 0, 05 \cdot x^{5} | = 0, 000 000 5, \end{matrix}

és ezért a keresett értékek

6

tizedesre való kerekítésében még figyelembe veendő, másrészt arra is kell gondolni, hogy a kisebb értékű tagok összege szintén módosíthatja a kerekített értéket, ha esetleg külön-külön nem is módosíthatják azt.
Tekintsük

K^{2}

-nek 3‐6. tagjait előbb az előírt negatív

x

értékek esetében, ekkor mind a

4

tag pozitív.

x = - 0, 1

esetén az első két értékes jegyet kiszámítva a ‐

7 x^{5} / 128

tag kisebb, mint

0, 000 000 54

. A következő tag, mint láttuk, ennek

1 / 40

része, a továbbiak még kisebbek, így a további

3

tag együtt kisebb a

3

. tag

3 / 40

részénél, ami kisebb

0, 000 000 05

-nél, ennélfogva a 3‐6. tagok összege

0, 000 000 5

és

0, 000 000 6

közé esik. Az első két tagot is figyelembe véve

\begin{matrix} K^{2} = 1 - 0, 1 + 0, 000 000 5 ..., kerekítve 0, 900 001. \end{matrix}

x = - 0, 05

érték

1 / 2

része az előbbi

x

-nek, tehát a

3

. tag

1 / 2^{5} = 1 / 32

része az előbbinek, tehát kisebb, mint ha

2

-est írunk a

8

. tizedes helyre, a további

3

tag mindegyike kisebb a

3

. tag

1 / 80

részénél, így a

4

tag együtt sem éri el a

6

. tizedes jegy helyi értékének felét, tehát ekkor

K^{2} = 1 - 0, 05 = 0, 95 = 0, 950 000

. (Az utóbbi alak végén

4

értékes zérus áll.)
Hasonlóan

x = - 0, 01

esetén

K^{2} = 0, 990 000.

Az előírt pozitív

x

értékek esetében

K^{2}

tagjai a

2

.-tól kezdve váltakozó előjelűek. Másrészt, mint láttuk, rendre kisebbek az előttük álló tagnál. Ezért az

5

. és

6

. tag összege olyan előjelű, mint az

5

. tag, és abszolút értékben kisebb annál; ennélfogva ezt az összeget a

4

. taghoz adva ugyanúgy nem változtatunk annak előjelén, mint ahogyan a puszta

5

. tag hozzáadásával sem változtatnánk, így a 4‐6. tagok összege olyan jelű, mint a

4

. tag, és abszolút értékben kisebb annál.

x = + 0, 1

esetében

K^{2}

harmadik tagja kisebb, mint

- 0, 000 000 53

, a 4‐6. tagok összege pozitív, és (az

1 / 40

részt felkerekítve) kisebb

0, 000 000 02

-nél, így a 3‐6. tagok összege

- 0, 000 000 5

és

- 0, 000 000 6

közé esik, tehát

- 0, 000 001

-re kerekítendő (ugyanis

K^{2}

első két tagja a

6

. tizedes jegyig tekintve kerek szám),

K^{2} = 1, 099 999

x = + 0, 05

és

x = + 0, 01

esetében a

3

. tag abszolút értéke kisebb a

6

. tizedes jegy helyi értékének felénél, méginkább áll ez a 3‐6. tagok összegének abszolút értékére, ekkor

K^{2}

értéke

1, 050 000

, ill.

1, 010 000

Horváth Sándor (Budapest, I. István g. I. o. t.)

Megjegyzés. Eredményeinket megfordítva a kézenfekvő az a sejtés, hogy a kapott

1, 099 999 \approx 1, 1, 0, 900 001 \approx 0, 9

, valamint az

1, 05

0, 95

1, 01

, ill.

0, 99

számok négyzetgyökére közelítő értéket kapunk, ha

K

-ban

x

helyére rendre

\pm 0, 1

-et,

\pm 0, 05

-ot, ill.

\pm 0, 01

-ot írunk, általában, hogy

K

1 + x

szám négyzetgyökének közelítő értékét adja. A sejtés bizonyos feltételek teljesülése esetén helyes, azonban a feltételek megállapítása messze vezetne.